Question

5．設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，對任意的x∈R，都有f（x-2）=f（x+2），且當(dāng)x∈[-2，0]時，$f（x）={（{\frac{1}{2}}）^x}-1$．若在區(qū)間（-2，6]內(nèi)關(guān)于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）恰有3個不同的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （1，2）
• B． （2，+∞）
• C． $（{1，\root{4}{3}}）$
• D． $（{\root{4}{3}，2}）$

Answer 1

分析 利用f（x）的周期性做出f（x）在（-2，6]上的函數(shù)圖象，根據(jù)交點個數(shù)列出不等式組，求出a的范圍．

解答 解：∵f（x-2）=f（x+2），∴f（x）=f（x+4），
∴f（x）周期為4，
做出y=f（x）在（-2，6]上的函數(shù)圖象如圖所示：

∵關(guān)于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）恰有3個不同的實數(shù)根，
∴y=f（x）與y=log_a（x+2）（a＞1）的函數(shù)圖象在（-2，6]上有3個交點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}4＜3}\\{lo{g}_{a}8＞3}\end{array}\right.$，解得：$\root{3}{4}$＜a＜2．
故選：D．

點評 本題考查了函數(shù)零點與函數(shù)圖象的關(guān)系，屬于中檔題．