Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{3}}{3}$+$\frac{a{x}^{2}}{2}$+2bx+c在區(qū)間（0，1）內(nèi)取極大值，在區(qū)間（1，2）內(nèi)取極小值，則z=（a+3）²+b²的取值范圍為（$\frac{4}{5}$，9）．

Answer 1

分析 由題意可得x₁，x₂是導(dǎo)函數(shù)f′（x）=x²+ax+b的兩根，由于導(dǎo)函數(shù)f′（x）=x²+ax+b的圖象開(kāi)口朝上且x₁∈（0，1），x₂∈（1，2）即$\left\{\begin{array}{l}{f′（0）=b＞0}\\{f′（1）=1+a+b＜0}\\{f′（2）=4+2a+b＞0}\end{array}\right.$，畫(huà)出滿(mǎn)足以上條件的實(shí)數(shù)對(duì)（a，b）所構(gòu)成的區(qū)域，z=（a+3）²+b²的表示點(diǎn)（a，b）到點(diǎn)（-3，0）的距離平方，即可求解

解答 解：設(shè)f（x）的極大值點(diǎn)是x₁，極小值點(diǎn)是x₂，
∵函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$ax²+bx+c在x=x₁處取得極大值，在x=x₂處取得極小值，
∴x₁，x₂是導(dǎo)函數(shù)f′（x）=x²+ax+b的兩根，
由于導(dǎo)函數(shù)f′（x）=x²+ax+b的圖象開(kāi)口朝上且x₁∈（0，1），x₂∈（1，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（0）=b＞0}\\{f′（1）=1+a+b＜0}\\{f′（2）=4+2a+b＞0}\end{array}\right.$，
則滿(mǎn)足以上條件的實(shí)數(shù)對(duì)（a，b）所構(gòu)成的區(qū)域如圖所示：
由$\left\{\begin{array}{l}{1+a+b=0}\\{4+2a+b=0}\end{array}\right.$，得A（-3，2），
z=（a+3）²+b²的表示點(diǎn)（a，b）到點(diǎn)（-3，0）的距離平方，
又因?yàn)镻A²=（-3--3）²+（2-0）²=4，PB²=9，
P到直線(xiàn)4+2a+b=0的距離等于$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
則z=（a+3）²+b²的取值范圍為（$\frac{4}{5}，9$），
故答案為：（$\frac{4}{5}$，9）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的極值、根的分布及規(guī)劃問(wèn)題，屬于中檔題．