Question

5．空間中任意放置的棱長(zhǎng)為2的正四面體ABCD，下列命題正確的是①②③④． （寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào)）
①正四面體ABCD的主視圖面積可能是$\sqrt{2}$；
②正四面體ABCD的主視圖面積可能是$\frac{2\sqrt{6}}{3}$；
③正四面體ABCD的主視圖面積可能是$\sqrt{3}$；
④正四面體ABCD的主視圖面積可能是2；
⑤正四面體ABCD的主視圖面積可能是4．

Answer 1

分析 作出正四面體的三視圖的各種情況，正視圖的最小圖形與最大圖形，求出正視圖的面積，即可得到正確命題．

解答 解：對(duì)于四面體ABCD，如右圖：
當(dāng)光線平行于底面BCD，沿CD方向時(shí)，主視圖為圖中△ABE，
則其面積為$\frac{1}{2}×2×\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{{2}^{2}-（2×\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\sqrt{2}$，故①正確；
當(dāng)光線平行于底面BCD，沿CO方向時(shí)，
主視圖為以BD為底，正四面體的高AO為高的三角形，
則其面積為$\frac{1}{2}×2×\sqrt{{2}^{2}-（2×\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，故②正確；
當(dāng)光線垂直于底面BCD時(shí)，主視圖為△BCD，
其面積為$\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$，故③正確；
將正四面體放入正方體中，如上右圖，
光線垂直于正方體正對(duì)我們的面時(shí)，主視圖是正方形，
其面積為$\sqrt{2}×\sqrt{2}$=2，并且此時(shí)主視圖面積最大，故④正確，⑤不正確．
故答案為：①②③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何體的三視圖的應(yīng)用，能夠判斷三視圖中的正視圖的最值圖形是解題的難點(diǎn)也是關(guān)鍵點(diǎn)．