Question

7．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=n（n∈N^*），又等差數(shù)列{b_n}滿足b₁=a₁，b₁+1，b₂+1，b₅-1成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）由等式，可令n=1，求得a₁=1；當(dāng)n≥2時(shí)，將n換為n-1，相減可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；再由等差數(shù)列{b_n}的公差設(shè)為d，運(yùn)用等比數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)，解方程可得公差d，進(jìn)而得到{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求得a_nb_n=（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）^n-1，再由數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡(jiǎn)整理，即可得到所求和．

解答 解：（1）a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=n，①
可得n=1時(shí)，a₁=1；
當(dāng)n≥2時(shí)，a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-2a_n-1=n-1，②
①-②可得2^n-1a_n=1，
即有a_n=（$\frac{1}{2}$）^n-1（n≥2），
對(duì)n=1也成立，
則a_n=（$\frac{1}{2}$）^n-1（n∈N^*），
設(shè)等差數(shù)列{b_n}的公差為d，
b₁=a₁=1，b₁+1=2，b₂+1=2+d，b₅-1=4d，
b₁+1，b₂+1，b₅-1成等比數(shù)列成等比數(shù)列，
可得（2+d）²=8d，
解得d=2，
b_n=b₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1（n∈N^*）；
（2）a_nb_n=（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
S_n=1+3•（$\frac{1}{2}$）+5•（$\frac{1}{2}$）²+…+（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{2}$+3•（$\frac{1}{2}$）²+5•（$\frac{1}{2}$）³+…+（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
兩式相減可得$\frac{1}{2}$S_n=1+2[$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+…+（$\frac{1}{2}$）^n-1]-（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ
=1+$\frac{2×\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ=3-（2n+3）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
即為S_n=6-（2n+3）•（$\frac{1}{2}$）^n-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和性質(zhì)的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，同時(shí)考查等比數(shù)列的求和公式的運(yùn)用，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．