Question

5．2015年12月，京津冀等地?cái)?shù)城市指數(shù)“爆表”，北方此輪污染為2015年以來(lái)最嚴(yán)重的污染過(guò)程．為了探究車(chē)流量與PM2.5的濃度是否相關(guān)，現(xiàn)采集到北方某城市2015年12月份某星期星期一到星期日某一時(shí)間段車(chē)流量與PM2.5的數(shù)據(jù)如表：

時(shí)間	星期一	星期二	星期三	星期四	星期五	星期六	星期七
車(chē)流量x（萬(wàn)輛）	1	2	3	4	5	6	7
PM2.5的濃度y（微克/立方米）	28	30	35	41	49	56	62

（Ⅰ）由散點(diǎn)圖知y與x具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程；
（Ⅱ）（�。├�用（Ⅰ）所求的回歸方程，預(yù)測(cè)該市車(chē)流量為8萬(wàn)輛時(shí)PM2.5的濃度；
（ⅱ）規(guī)定：當(dāng)一天內(nèi)PM2.5的濃度平均值在（0，50]內(nèi)，空氣質(zhì)量等級(jí)為優(yōu)；當(dāng)一天內(nèi)PM2.5的濃度平均值在（50，100]內(nèi)，空氣質(zhì)量等級(jí)為良．為使該市某日空氣質(zhì)量為優(yōu)或者為良，則應(yīng)控制當(dāng)天車(chē)流量在多少萬(wàn)輛以?xún)?nèi)？（結(jié)果以萬(wàn)輛為單位，保留整數(shù)．）
參考公式：回歸直線(xiàn)的方程是$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$x+$\stackrel{∧}{a}$，其中$\stackrel{∧}$=$\frac{{{\sum_{i=1}^{n}x}_{i}y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{{\sum_{i=1}^{n}x}_{i}^{2}-{n\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)公式求出回歸系數(shù)，可寫(xiě)出線(xiàn)性回歸方程；
（Ⅱ）（�。└鶕�(jù)（Ⅰ）的性回歸方程，代入x=8求出PM2.5的濃度；
（ⅱ）根據(jù)題意信息得：6x+19≤100，即x≤13.5，解得x的取值范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）由數(shù)據(jù)可得：$\overline x=\frac{1}{7}（{1+2+3+4+5+6+7}）=4$，…（1分）$\overline y=\frac{1}{7}（{28+30+35+41+49+56+62}）=43$，…（2分）
$\sum_{i=1}^7{{x_i}{y_i}}=1372$，$\sum_{i=1}^7{{x_i}^2}=140$，…（4分）
$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n{{\overline x}^2}}}}=\frac{1372-1204}{140-112}=6$，…（6分）$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x=43-4×6=19$…（7分）
故y關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程為$\widehaty=6x+19$．…（8分）
（Ⅱ）（�。┊�(dāng)車(chē)流量為8萬(wàn)輛時(shí)，即x=8時(shí)，$\widehaty=6×8+19=67$．
故車(chē)流量為8萬(wàn)輛時(shí)，PM2.5的濃度為67微克/立方米．…（10分）
（ⅱ）根據(jù)題意信息得：6x+19≤100，即x≤13.5，…（11分）
故要使該市某日空氣質(zhì)量為優(yōu)或?yàn)榱�，則應(yīng)控制當(dāng)天車(chē)流量在13萬(wàn)輛以?xún)?nèi)．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了線(xiàn)性回歸分析的方法，包括用最小二乘法求參數(shù)，以及用回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)等知識(shí)，考查了考生數(shù)據(jù)處理和運(yùn)算能力，屬于中檔題．