Question

4．如圖，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥底面ABCD，底面ABCD為菱形，O為A₁C₁與B₁D₁的交點，已知AA₁=AB=2，∠BAD=60°；
（1）求證：平面A₁BC₁⊥平面B₁BDD₁；
（2）求點O到平面BC₁D的距離．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出A₁C₁⊥B₁D₁，A₁C₁⊥BB₁，由此能證明平面A₁BC₁⊥平面B₁BDD₁．
（2）取AB中點E，以D為原點，DE為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出點O到平面BC₁D的距離．

解答 （1）證明：∵底面ABCD為菱形，O為A₁C₁與B₁D₁的交點，
∴A₁C₁⊥B₁D₁，
∵在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥底面ABCD，
∴A₁C₁⊥BB₁，
∵B₁D₁∩BB₁=B₁，∴A₁C₁⊥平面B₁BDD₁，
∵A₁C₁?平面A₁BC₁，∴平面A₁BC₁⊥平面B₁BDD₁；
（2）解：取AB中點E，以D為原點，DE為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
B（$\sqrt{3}$，1，0），D（0，0，0），O（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，2），C₁（0，2，2），
$\overrightarrow{DO}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}，2$），$\overrightarrow{DB}$=（$\sqrt{3}$，1，0），$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（0，2，2），
設(shè)平面BC₁D的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=\sqrt{3}x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{C}_{1}}=2y+2z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，-3，3），
∴點O到平面BC₁D的距離d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DO}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{6}{\sqrt{21}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

點評 本考查面面垂直的判斷，考查點到平面的距離的求法，訓(xùn)練了利用空間向量求點到面的距離，是中檔題．