Question

19．已知正數x，y滿足$\frac{4x-y}{4x+3y}$=4xy，那么y的最大值為$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 正數x，y滿足$\frac{4x-y}{4x+3y}$=4xy，化為：16yx²+（12y²-4）x+y=0，關于x的一元二次方程有正實數根，利用方程與判別式的關系、根與系數的關系即可得出．

解答 解：正數x，y滿足$\frac{4x-y}{4x+3y}$=4xy，化為：16yx²+（12y²-4）x+y=0，
關于x的一元二次方程有正實數根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{12{y}^{2}-4}{16y}＞0}\\{△=（12{y}^{2}-4）^{2}-64{y}^{2}≥0}\end{array}\right.$，又y＞0，
解得$y≤\frac{1}{3}$．
那么y的最大值為$\frac{1}{3}$．
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了一元二次方程有正實數根與判別式及其根與系數的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．