5.已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,該橢圓的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$,A是橢圓上一點(diǎn),AF2⊥F1F2,原點(diǎn)O到直線AF1的距離為$\frac{1}{3}$.
(1)求橢圓的方程;
(2)是否存在過(guò)F2的直線l交橢圓于P、Q兩點(diǎn),且滿足△POQ的面積為$\frac{2}{3}$,若存在,求直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析 (1)設(shè)F2(c,0)(c>0),由橢圓的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$,A是橢圓上一點(diǎn),AF2⊥F1F2,原點(diǎn)O到直線AF1的距離為$\frac{1}{3}$.列出方程求出a,b,即可求解橢圓方程.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),當(dāng)直線l不垂直x軸時(shí),設(shè)直線l的方程為y=k(x-1),代入橢圓方程,化簡(jiǎn)利用韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式,點(diǎn)到直線的距離公式,表示出三角形的面積,然后求解直線l的方程.當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí),運(yùn)算即可.

解答 解:(1)設(shè)F2(c,0)(c>0),由$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$得,$a=\sqrt{2}c$,∴b=c,
∵$A{F_2}⊥{F_1}{F_2},解得A(c,±\frac{{\sqrt{2}}}{2}c)$,直線$A{F_1}的方程為y=±\frac{{\sqrt{2}}}{4}(x+c)$
即$A{F_1}的方程為\sqrt{2}x±y+\sqrt{2}c=0$,
∵$O到A{F_1}的距離為\frac{1}{3},即\frac{{\sqrt{2}c}}{{\sqrt{18}}}=\frac{1}{3}$,∴$a=\sqrt{2},b=c=1$
即所求橢圓的方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$.            …(6分)
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
當(dāng)直線l不垂直x軸時(shí),設(shè)直線l的方程為y=k(x-1),
代入橢圓方程得:(1+2k2)x-4k2x+2k2-2=0,
${x_1}+{x_2}=\frac{{4{k^2}}}{{1+2{k^2}}},{x_1}•{x_2}=\frac{{2{k^2}-2}}{{1+2{k^2}}}$k2…(8分)
$|AB|=\sqrt{1+{k^2}}|{x_1}-{x_2}|=\sqrt{1+{k^2}}\frac{{2\sqrt{2}•\sqrt{1+{k^2}}}}{{1+2{k^2}}}=\frac{{2\sqrt{2}•(1+{k^2})}}{{1+2{k^2}}}$
點(diǎn)O到直線l的距離$d=\frac{|k|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$…(10分)
${S_{△AOB}}=\frac{{2\sqrt{2}•|k|\sqrt{1+{k^2}}}}{{1+2{k^2}}}=\frac{2}{3}$,解得k2=1,∴k=±1…(12分)
所以,直線l的方程為x-y-1=0或x+y-1=0
當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí),${S_{△AOB}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}≠\frac{2}{3}$,不符合                …(14分)
所以,所求直線l的方程為x-y-1=0或x+y-1=0.…(15分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,橢圓方程的求法,考查設(shè)而不求思想方法的應(yīng)用,考查計(jì)算能力.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

15.如圖為一簡(jiǎn)單幾何體,其底面ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,EC∥PD,且PD=DA=2,EC=1,N為線段PB的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:NE⊥PD;
(Ⅱ)求四棱錐B-CEPD的體積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

16.一個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題,若n=k(k∈N)時(shí)命題成立可以推出n=k+1時(shí)命題也成立.現(xiàn)已知n=10時(shí)該命題不成立,那么下列結(jié)論正確的是:③(填上所有正確命題的序號(hào))
①n=11時(shí),該命題一定不成立;
②n=11時(shí),該命題一定成立;
③n=1時(shí),該命題一定不成立;
④至少存在一個(gè)自然數(shù),使n=n0時(shí),該命題成立.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

13.某校舉行校園達(dá)人秀初賽,共有3名評(píng)委老師參加評(píng)審,某一節(jié)目至少有2名評(píng)委老師同意通過(guò),則該節(jié)目晉級(jí).假如該校高二(1)班共有2名選手參加比賽,其中甲選手獲得每位評(píng)委老師同意通過(guò)的概率均為$\frac{1}{2}$,乙選手獲得每位評(píng)委老師同意通過(guò)的概率均為$\frac{1}{3}$,各評(píng)委老師評(píng)審的結(jié)果相互獨(dú)立.
(1)分別求甲、乙兩名選手晉級(jí)的概率;
(2)設(shè)高二(1)班甲、乙兩選手的晉級(jí)的人數(shù)為X,試求隨機(jī)變量X的概率分布列.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

20.已知集合A={0,1},B={y|x2+y2=1,x∈A},則A∪B={-1,0,1},∁BA的子集個(gè)數(shù)是2.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

10.若球的大圓周長(zhǎng)為4π,則這個(gè)球的表面積為( 。
A.B.16πC.$\frac{8}{3}$πD.$\frac{16}{3}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

17.某幾何體的三視圖如圖所示.
(1)畫出該幾何體的直觀圖;
(2)求該幾何體的表面積和體積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

4.解關(guān)于x,y的方程組$\left\{\begin{array}{l}{mx+2y=m+4}\\{2x+my=m}\end{array}\right.$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

5.角α終邊上一點(diǎn)P(2sin5,-2cos5),α∈(0,2π),則α=( 。
A.5-$\frac{π}{2}$B.3π-5C.5D.5+$\frac{π}{2}$

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案