分析 (1)設(shè)F2(c,0)(c>0),由橢圓的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$,A是橢圓上一點(diǎn),AF2⊥F1F2,原點(diǎn)O到直線AF1的距離為$\frac{1}{3}$.列出方程求出a,b,即可求解橢圓方程.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),當(dāng)直線l不垂直x軸時(shí),設(shè)直線l的方程為y=k(x-1),代入橢圓方程,化簡(jiǎn)利用韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式,點(diǎn)到直線的距離公式,表示出三角形的面積,然后求解直線l的方程.當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí),運(yùn)算即可.
解答 解:(1)設(shè)F2(c,0)(c>0),由$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$得,$a=\sqrt{2}c$,∴b=c,
∵$A{F_2}⊥{F_1}{F_2},解得A(c,±\frac{{\sqrt{2}}}{2}c)$,直線$A{F_1}的方程為y=±\frac{{\sqrt{2}}}{4}(x+c)$
即$A{F_1}的方程為\sqrt{2}x±y+\sqrt{2}c=0$,
∵$O到A{F_1}的距離為\frac{1}{3},即\frac{{\sqrt{2}c}}{{\sqrt{18}}}=\frac{1}{3}$,∴$a=\sqrt{2},b=c=1$
即所求橢圓的方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$. …(6分)
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
當(dāng)直線l不垂直x軸時(shí),設(shè)直線l的方程為y=k(x-1),
代入橢圓方程得:(1+2k2)x-4k2x+2k2-2=0,
${x_1}+{x_2}=\frac{{4{k^2}}}{{1+2{k^2}}},{x_1}•{x_2}=\frac{{2{k^2}-2}}{{1+2{k^2}}}$k2…(8分)
$|AB|=\sqrt{1+{k^2}}|{x_1}-{x_2}|=\sqrt{1+{k^2}}\frac{{2\sqrt{2}•\sqrt{1+{k^2}}}}{{1+2{k^2}}}=\frac{{2\sqrt{2}•(1+{k^2})}}{{1+2{k^2}}}$
點(diǎn)O到直線l的距離$d=\frac{|k|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$…(10分)
${S_{△AOB}}=\frac{{2\sqrt{2}•|k|\sqrt{1+{k^2}}}}{{1+2{k^2}}}=\frac{2}{3}$,解得k2=1,∴k=±1…(12分)
所以,直線l的方程為x-y-1=0或x+y-1=0
當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí),${S_{△AOB}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}≠\frac{2}{3}$,不符合 …(14分)
所以,所求直線l的方程為x-y-1=0或x+y-1=0.…(15分)
點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,橢圓方程的求法,考查設(shè)而不求思想方法的應(yīng)用,考查計(jì)算能力.
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A. | 8π | B. | 16π | C. | $\frac{8}{3}$π | D. | $\frac{16}{3}$ |
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A. | 5-$\frac{π}{2}$ | B. | 3π-5 | C. | 5 | D. | 5+$\frac{π}{2}$ |
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