Question

13．已知a，b∈R⁺，且a+b+$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=5，則a+b的取值范圍是[1，4]．

Answer 1

分析 a，b∈R⁺，且a+b+$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=5，利用基本不等式的性質可得：5=（a+b）$（1+\frac{1}{ab}）$≥（a+b）$[1+\frac{1}{\frac{（a+b）^{2}}{4}}]$，當且僅當a=b=2或$\frac{1}{2}$時取等號．令a+b=t，化為：（t-1）（t-4）≤0，解出即可得出．

解答 解：∵a，b∈R⁺，且a+b+$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=5，
則5=（a+b）$（1+\frac{1}{ab}）$≥（a+b）$[1+\frac{1}{\frac{（a+b）^{2}}{4}}]$，當且僅當a=b=2或$\frac{1}{2}$時取等號．
令a+b=t，
化為：（t-1）（t-4）≤0，解得1≤t≤4．
∴a+b的取值范圍是[1，4]．
故答案為：[1，4]．

點評 本題考查了基本不等式的性質、方程的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．