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12.數(shù)列{an}的前n項和是Sn,且Sn+12an=1,數(shù)列{bn},{cn}滿足bn=log3an24,cn=\frac{1}{_{n}_{n+2}}
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)數(shù)列{cn}的前n項和為Tn,若不等式Tn<m對任意的正整數(shù)n恒成立,求m的取值范圍.

分析 (I)利用遞推公式、等比數(shù)列的通項公式即可得出.
(II)利用“裂項求和”方法即可得出.

解答 解:(Ⅰ)由題意得:Sn+1+12an+1=1,①Sn+12an=1
①-②可得an+1+12an+112an=0,即an+1=13an
當n=1時 S1+12a1=1,則a1=23,則{an}是以23為首項,13為公比的等比數(shù)列.
因此an=2313n1=23n
(Ⅱ)bn=log3an4=log3a2n4=log332n=2n,cn=1nn+2=12n2n+4=181n1n+2..
Tn=181113+1214++1n11n+1+1n1n+2=181+121n+11n+2316
m316

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式、數(shù)列遞推關(guān)系、“裂項求和”方法,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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(Ⅰ)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式;
(Ⅱ)求數(shù)列{an+bn}的前n項和Sn

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