Question

15．若實數(shù)x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}x≥0\;\\ y≤x\;\\ x+y+a≤0\;\end{array}\right.$且z=x+3y的最大值為4，則實數(shù)a的值為-2．

Answer 1

分析 作出不等式組對應的平面區(qū)域，根據(jù)z的幾何意義，利用數(shù)形結合即可得到a的值．

解答 解：不等式組約束條件$\left\{\begin{array}{l}x≥0\;\\ y≤x\;\\ x+y+a≤0\;\end{array}\right.$對應的平面區(qū)域如圖：
由z=x+3y得y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{1}{3}$z，
平移直線y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{1}{3}$z，則由圖象可知當直線y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{1}{3}$z經過點A時直線y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{1}{3}$z的截距最大，
此時z最大，為x+3y=4
由$\left\{\begin{array}{l}{x=y}\\{x+3y=4}\end{array}\right.$，
解得A（1，1），
此時點A在x+y+a=0上，
即2+a=0，
解得a=-2
故答案為：-2．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應用，根據(jù)z的幾何意義，利用數(shù)形結合是解決本題的關鍵．