Question

9．已知函數(shù)f（x）=ax²+8x+b（a，b為互不相等的正整數(shù)），方程f（x）=0的兩個(gè)實(shí)根為x₁，x₂（x₁≠x₂），且|x₁|＜1，|x₂|＜1，若f（1）+f（-1）的最大值與最小值分別為M，m，則M+m的值為50．

Answer 1

分析 由|x₁|＜1，|x₂|＜1知，方程的兩根在區(qū)間（-1，1）內(nèi)，f（x）=ax²+8x+b，此函數(shù)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)在區(qū)間（-1，1）內(nèi)，可得，f（-1）＞0，f（1）＞0，且對(duì)稱軸在區(qū)間（-1，1）內(nèi)，最小值小于0．由此列條件求a+b的最值，進(jìn)而得到M+m的和．

解答 解：f（x）=ax²+8x+b，
此函數(shù)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)在區(qū)間（-1，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）＞0}\\{f（1）＞0}\\{-1＜-\frac{8}{2a}＜1}\\{\frac{4ab-64}{4a}＜0}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b＞8}\\{a+b＞-8}\\{a＞4}\\{ab＜16}\end{array}\right.$即有$\left\{\begin{array}{l}{a+b＞8}\\{a＞4}\\{ab＜16}\\{a，b∈N*}\end{array}\right.$，
∵a，b為互不相等的正整數(shù)，
∴a，b可能的取值有（7，2）（8，1）（9，1）（10，1），
（11，1），（12，1），（13，1），（14，1）（15，1）共9個(gè)．
∴a+b的最小值是9，最大值為16．
則f（1）+f（-1）=2（a+b）的最大值與最小值分別為M=32，m=18，
可得M+m=50．
故答案為：50．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于一元二次方程根的分布問題，通常用數(shù)形結(jié)合的方法解決．二次方程根的分布問題，一般考慮圖象與x軸的交點(diǎn)問題，對(duì)稱軸位置問題，頂點(diǎn)位置問題等．