Question

15．已知等差數(shù)列{a_n}的公差d≠0，且a₁，a₃，a₁₃成等比數(shù)列，若a₁=1，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，則$\frac{2{S}_{n}+16}{{a}_{n}+3}$的最小值為（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2$\sqrt{3}$-2
• D． 2

Answer 1

分析 a₁，a₃，a₁₃成等比數(shù)列，a₁=1，可得：a₃²=a₁a₁₃，即（1+2d）²=1+12d，d≠0，解得d．可得a_n，S_n．代入$\frac{2{S}_{n}+16}{{a}_{n}+3}$利用分離常數(shù)法化簡(jiǎn)后，利用基本不等式求出式子的最小值．

解答 解：∵a₁，a₃，a₁₃成等比數(shù)列，a₁=1，
∴a₃²=a₁a₁₃，
∴（1+2d）²=1+12d，d≠0，
解得d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
S_n=n+$\frac{n（n-1）}{2}$×2=n²．
∴$\frac{2{S}_{n}+16}{{a}_{n}+3}$=$\frac{2{n}^{2}+16}{2n+2}$=$\frac{（n+1）^{2}-2（n+1）+9}{n+1}$=n+1+$\frac{9}{n+1}$-2≥2$\sqrt{（n+1）×\frac{9}{n+1}}$-2=4，
當(dāng)且僅當(dāng)n+1=$\frac{9}{n+1}$時(shí)取等號(hào)，此時(shí)n=2，且$\frac{2{S}_{n}+16}{{a}_{n}+3}$取到最小值4，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，等比中項(xiàng)的性質(zhì)，基本不等式求最值，解題的關(guān)鍵是利用分離常數(shù)法化簡(jiǎn)式子，湊出積為定值．