Question

8．設函數(shù)f（x）=cos（2x+$\frac{2π}{3}$）+2cos²x，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調減區(qū)間；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{3}$個單位長度后得到函數(shù)g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用余弦函數(shù)的周期性和單調性，得出結論．
（2）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得g（x）的解析式，再利用余弦函數(shù)的定義域和值域，求得g（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的值域．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=cos（2x+$\frac{2π}{3}$）+2cos²x=cos2xcos$\frac{2π}{3}$-sin2xsin$\frac{2π}{3}$+cos2x+1
=$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+1=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+1，
故函數(shù)的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π，令2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+π，求得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，
求得函數(shù)的減區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z．
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{3}$個單位長度后得到函數(shù)g（x）=cos（2x-$\frac{2π}{3}$+$\frac{π}{3}$）+1=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+1的圖象，
在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上，2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，cos（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，g（x）∈[$\frac{1}{2}$，2]．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換，余弦函數(shù)的周期性和單調性，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，余弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．