Question

17．已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（b＞0）
（1）若0＜b≤2，求離心率e的取值范圍；
（2）橢圓E內(nèi)含圓C：x²+y²=$\frac{8}{3}$．圓C的切線l與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，滿足$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
①求b²的值；
②求△ABC面積的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意的橢圓的離心率公式，根據(jù)b取值范圍，即可求得離心率e的取值范圍；
（2）①分類，當(dāng)直線的斜率存在時，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得b²的值；
②由①可知，利用弦長公式，及三角形的面積公式，換元，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得三角形面積的△ABC面積的取值范圍；
方法二：過原點(diǎn)O作OD⊥AB，垂足為D，丨OD丨=R=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，設(shè)∠OAB=θ，根據(jù)三角形的關(guān)系，即可求得丨AB丨的取值范圍，利用三角形的面積公式即可求得△ABC面積的取值范圍．

解答 解：（1）由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{8}}$，
由0＜b≤2，則$\frac{1}{2}$≤1-$\frac{^{2}}{8}$＜1，
則$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤e＜1，
離心率e的取值范圍[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）；
（2）①設(shè)圓C的切線l與橢圓E的兩個交點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
（i） 當(dāng)直線l的斜率不存在時，l的方程可設(shè)為x=$\sqrt{\frac{8}{3}}$，代入橢圓方程得y=±$\sqrt{\frac{2}{3}}$b，
由$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，有x₁x₂+y₁y₂=0，即-$\frac{8}{3}$-$\frac{2}{3}$b²=0，解得：b²=4，…3分
（ii）當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)l的方程為：y=kx+m，代入$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1
得（b²+8k²）x²+16mkx+8（m²-b²）=0，
由韋達(dá)定理：x₁+x₂=-$\frac{16km}{^{2}+8{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{8（{m}^{2}-^{2}）}{^{2}+8{k}^{2}}$，
由$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，則x₁x₂+y₁y₂=0，
可得（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0，
根系關(guān)系代入，得m²=$\frac{8^{2}（1+{k}^{2}）}{8+^{2}}$，（*）….5分
又因?yàn)橹本�l和圓相切，圓心到切線距離等于半徑，即R=$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
即m²=$\frac{8}{3}$（1+k²）代入（*），整理得b²=4
綜上所述，不論直線l的斜率是否存在，都有b²=4，…..7分
②方法一：由b²=4，得：將直線方程代入$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
整理得：（4+8k²）x²+16mkx+8（m²-4）=0，
x₁+x₂=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2（{m}^{2}-4）}{1+2{k}^{2}}$，
再由m²=$\frac{8^{2}（1+{k}^{2}）}{8+^{2}}$，
丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$•$\frac{\sqrt{（1+{k}^{2}）（4{k}^{2}+1）}}{2{k}^{2}+1}$，…9分
令t=1+2k²，t≥1，
可得：丨AB丨²=$\frac{16}{3}$[-（$\frac{1}{t}$）²+$\frac{1}{t}$+2]，t≥1，
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：$\frac{32}{3}$＜丨AB丨²≤12，
當(dāng)k不存在時丨AB丨²=$\frac{32}{3}$，則$\frac{4\sqrt{6}}{3}$＜丨AB丨≤2$\sqrt{3}$，
∴△ABC面積S=$\frac{1}{2}$×d×丨AB丨=$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{6}}{3}$×丨AB丨，
∴S∈[$\frac{8}{3}$，2$\sqrt{2}$]，
△ABC面積的取值范圍[$\frac{8}{3}$，2$\sqrt{2}$]．….12分
法二：過原點(diǎn)O作OD⊥AB，垂足為D，則D為切點(diǎn)，丨OD丨=R=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，設(shè)∠OAB=θ，
知θ為銳角，且丨AD丨=$\frac{R}{tanθ}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3tanθ}$，丨BD丨=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$tanθ，
∴丨AB丨=丨AD丨+丨BD丨=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$（tanθ+$\frac{1}{tanθ}$），
由丨OA丨在橢圓的a，b之間變化，即2≤丨OA丨≤2$\sqrt{2}$，則$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤tanθ≤$\sqrt{2}$，
∴$\frac{4\sqrt{6}}{3}$＜丨AB丨≤2$\sqrt{3}$，
∴△ABC面積S=$\frac{1}{2}$×d×丨AB丨=$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{6}}{3}$×丨AB丨，
∴S∈[$\frac{8}{3}$，2$\sqrt{2}$]，

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，弦長公式，二次函數(shù)的最值，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．