Question

【題目】已知數(shù)列{an+1﹣an}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，a1＝1．

（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）求數(shù)列{（3n﹣1）an}的前n項(xiàng)和Sn．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）an＝；（Ⅱ）Snn（3n+1）+5﹣（3n+5）（）n．

【解析】

（Ⅰ）先求{an+1﹣an}的通項(xiàng)公式，再利用迭代法可得通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）根據(jù)通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，利用分組和錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和.

（Ⅰ）數(shù)列{an+1﹣an}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，a1＝1，

可得an+1﹣an（）n﹣1＝（）n+1，，

即有an＝a1+（a2﹣a1）+…+（an﹣an﹣1）＝1（）n；

所以.

（Ⅱ）（3n﹣1）an（3n﹣1）﹣（3n﹣1）（）n，

前n項(xiàng)和Sn（2+5++3n﹣1）﹣[2×5×（3n﹣1）（）n]，

設(shè)Tn＝2×5×（3n﹣1）（）n，

Tn＝2×5×（3n﹣1）（）n+1，

兩式相減可得Tn＝1+3（（）n）﹣（3n﹣1）（）n+1

＝1+3×（3n﹣1）（）n+1，

化簡(jiǎn)可得Tn＝5﹣（3n+5）（）n，

則Snn（3n+1）﹣5+（3n+5）（）n．