9.函數(shù)y=|log3x|的圖象與直線(xiàn)l1:y=m從左至右分別交于點(diǎn)A,B,與直線(xiàn)${l_2}:y=\frac{8}{2m+1}(m>0)$從左至右分別交于點(diǎn)C,D.記線(xiàn)段AC和BD在x軸上的投影長(zhǎng)度分別為a,b,則$\frac{a}$的最小值為( 。
A.$81\sqrt{3}$B.$27\sqrt{3}$C.$9\sqrt{3}$D.$3\sqrt{3}$

分析 依題意可求得A,B,C,D的橫坐標(biāo)值,得$\frac{a}$=$\frac{|{3}^{m}-{3}^{\frac{8}{2m+1}|}}{|{3}^{-m}-{3}^{-\frac{8}{2m+1}}|}$=${3}^{m+\frac{8}{2m+1}}$,利用基本不等式可求最小值.

解答 解:在同一坐標(biāo)系中作出y=m,y=$\frac{8}{2m+1}$(m>0),y=|log3x|的圖象,如圖,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),
由|log3x|=m,得x1=3-m,x2=3m,
由log3x|=$\frac{8}{2m+1}$,得x3=${3}^{-\frac{8}{2m+1}}$,x4=${3}^{\frac{8}{2m+1}}$.
依照題意得$\frac{a}$=$\frac{|{3}^{m}-{3}^{\frac{8}{2m+1}|}}{|{3}^{-m}-{3}^{-\frac{8}{2m+1}}|}$=${3}^{m+\frac{8}{2m+1}}$,
又m>0,∴m+$\frac{8}{2m+1}$=$\frac{1}{2}$(2m+1)+$\frac{8}{2m+1}$-$\frac{1}{2}$≥$\frac{7}{2}$,
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{1}{2}$(2m+1)=$\frac{8}{2m+1}$,即m=$\frac{3}{2}$時(shí)取“=”號(hào),
∴$\frac{a}$的最小值為27$\sqrt{3}$,
故選B.

點(diǎn)評(píng) 本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用,理解投影的概念并能把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基本不等式求最值是解決問(wèn)題的關(guān)鍵,屬中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

19.已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;\;\;\;(a>b>0)$,其離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$,點(diǎn)F是其一個(gè)焦點(diǎn),P 為橢圓上一點(diǎn),|PF|的最小值為$\sqrt{3}-1$,直線(xiàn)l:y=m(x-1).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
(2)證明:直線(xiàn)l與橢圓C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn);
(3)設(shè)直線(xiàn)l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),是否存在實(shí)數(shù)m,使得以線(xiàn)段AB為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)?若存在,求實(shí)數(shù)m的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

20.已知關(guān)于x的不等式(4kx-k2-12k-9)(2x-11)>0,其中k∈R,對(duì)于不等式的解集A,記B=A∩Z(其中Z為整數(shù)集),若集合B是有限集,則使得集合B中元素個(gè)數(shù)最少時(shí)的實(shí)數(shù)k的取值范圍是{2,3,4,5}.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

17.不重合的三個(gè)平面把空間分成n部分,則n的可能值為4,6,7或8.

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4.若log2(a+3)+log2(a-1)=5,則a=5.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

14.已知直線(xiàn)l:ax+2by+3c=0和兩定點(diǎn)A(0,13),B(5,10),若點(diǎn)B在l上的射影為C,且a,2b,3c成等差數(shù)列,則|AC|的取值范圍為[$\sqrt{10}$,5$\sqrt{10}$].

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

1.設(shè)f(x)=1g$\frac{1+{2}^{x}+{3}^{x}+{4}^{x}•a}{4}$,其中a是實(shí)數(shù),若f(x)當(dāng)x∈(-∞,1]時(shí)有意義,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

18.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),F(xiàn)1、F2分別是雙曲線(xiàn)C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的左右焦點(diǎn),A為C的左頂點(diǎn),P為C上一點(diǎn),且PF1⊥x軸,過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)l與線(xiàn)段PF1交于點(diǎn)M,與y軸交于點(diǎn)E,若直線(xiàn)F2M與y軸交點(diǎn)為N,OE=2ON,則C的離心率為( 。
A.$\frac{1}{3}$B.2C.$\frac{2}{3}$D.$\frac{3}{4}$

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

19.已知集合A={x|x2+5x>0},B={x|-3<x<4},則A∩B等于( 。
A.(-5,0)B.(-3,0)C.(0,4)D.(-5,4)

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同步練習(xí)冊(cè)答案