Question

11．已知點（8，3），（-3，6）在函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}x，x＞0}\\{^{x}-2，x≤0}\end{array}\right.$的圖象上
（1）求函數(shù)f（x）的解析式
（2）求不等式f（x）＞0的解集．

Answer 1

分析 （1）分別代入點（8，3），（-3，6），解方程可得a，b，進而得到f（x）的解析式；
（2）討論當(dāng)x＞0時，當(dāng)x≤0時，由對數(shù)不等式和指數(shù)不等式的解法，即可得到所求解集．

解答 解：（1）由題意可知，${log_a}8=3，{b^{-3}}-2=6$，
解得$a=2，b=\frac{1}{2}$，
所以函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x，x＞0}\\{（\frac{1}{2}）^{x}-2，x≤0}\end{array}\right.$；
（2）當(dāng)x＞0時，由log₂x＞0，解得x＞1；
當(dāng)x≤0時，由${（\frac{1}{2}）^x}-2＞0$，解得x＜-1．
可得不等式f（x）＞0的解集為{x|x＞1或x＜-1}．

點評 本題考查函數(shù)的解析式的求法，注意運用待定系數(shù)法，考查指數(shù)不等式、對數(shù)不等式的解法，以及運算能力，屬于中檔題．