Question

6．已知sin（α+β）=$\frac{1}{2}$，sin（α-β）=$\frac{1}{3}$，則下列結論正確的是①④．
①sinαcosβ=5cosαsinβ  
②sin2α=$\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}$
③若α，β是直角三角形的兩個銳角，則tan（α-β）的值為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
④若α，β是一個三角形的兩個內(nèi)角，則tan（α-β）的最大值為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 ①利用兩角和與差的正弦公式展開化簡，求得sinαcosβ=5cosαsinβ；
②由sin（α+β）=$\frac{1}{2}$，sin（α-β）=$\frac{1}{3}$求得cos（α+β）、cos（α-β）的值，得出sin2α=sin[（α+β）+（α-β）]=sin（α+β）cos（α-β）+cos（α+β）sin（α-β）不是一個值；
③α，β是直角三角形的兩個銳角時sin（α+β）=1，與已知矛盾；
④由①知sinαcosβ=5cosαsinβ，得tanα=5tanβ，計算tan（α-β）=$\frac{tanα-tanβ}{1+tanαtanβ}$=$\frac{4}{\frac{1}{tanβ}+5tanβ}$，利用基本不等式求出最大值．

解答 解：對于①，sin（α+β）=$\frac{1}{2}$，sin（α-β）=$\frac{1}{3}$，
∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=$\frac{1}{2}$，
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ=$\frac{1}{3}$，
∴2sinαcosβ=$\frac{5}{6}$，2cosαsinβ=$\frac{1}{6}$，
∴sinαcosβ=5cosαsinβ，∴①正確；
對于②，sin（α+β）=$\frac{1}{2}$，sin（α-β）=$\frac{1}{3}$，
∴cos（α+β）=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cos（α-β）=±$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴sin2α=sin[（α+β）+（α-β）]=sin（α+β）cos（α-β）+cos（α+β）sin（α-β），
∴sin2α不是一個值，②錯誤；
對于③，α，β是直角三角形的兩個銳角，α+β=$\frac{π}{2}$，sin（α+β）=1，
與已知sin（α+β）=$\frac{1}{2}$矛盾，∴③錯誤；
對于④，α，β是一個三角形的兩個內(nèi)角，
由①知，sinαcosβ=5cosαsinβ，∴tanα=5tanβ，
∴tan（α-β）=$\frac{tanα-tanβ}{1+tanαtanβ}$=$\frac{4tanβ}{1+{5tan}^{2}β}$
=$\frac{4}{\frac{1}{tanβ}+5tanβ}$≤$\frac{4}{2\sqrt{\frac{1}{tanβ}•5tanβ}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
當且僅當$\frac{1}{tanβ}$=5tanβ，即tanβ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$時取“=”，∴④正確；
綜上，正確的命題為①④．
故答案為：①④．

點評 本題考查了三角恒等變換與同角的三角函數(shù)關系的應用問題，是難題．