Question

12．在四棱錐P-ABCD中，△PAD為正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB=2AD=4．
（Ⅰ）求證：平面PCD⊥平面PAD；
（Ⅱ）求三棱錐P-ABC的體積；
（Ⅲ）在棱PC上是否存在點(diǎn)E，使得BE∥平面PAD？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)E的位置并證明；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由AB∥CD，AB⊥AD，可得CD⊥AD，再由面面垂直的性質(zhì)可得CD⊥平面PAD，從而得到平面PCD⊥平面PAD；
（Ⅱ）取AD的中點(diǎn)O，連結(jié)PO．由△PAD為正三角形，可得PO⊥AD．進(jìn)一步得到PO⊥平面ABCD，然后利用棱錐體積公式求得三棱錐P-ABC的體積；
（Ⅲ）在棱PC上存在點(diǎn)E，當(dāng)E為PC的中點(diǎn)時(shí)，BE∥平面PAD．分別取CP，CD的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連結(jié)BE，BF，EF．可得EF∥PD．再由已知得四邊形ABFD為平行四邊形，有BF∥AD．由面面平行的判定可得平面BEF∥平面PAD，從而得到BE∥平面PAD．

解答 （Ⅰ）證明：∵AB∥CD，AB⊥AD，
∴CD⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴CD⊥平面PAD．
∵CD?平面PCD，
∴平面PCD⊥平面PAD；
（Ⅱ）解：取AD的中點(diǎn)O，連結(jié)PO．
∵△PAD為正三角形，
∴PO⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PO⊥平面ABCD，即PO為三棱錐P-ABC的高．
∵△PAD為正三角形，CD=2AB=2AD=4，∴$PO=\sqrt{3}$．
∴${V_{P-ABC}}=\frac{1}{3}{S_{△ABC}}•PO=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×\sqrt{3}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$；
（Ⅲ）解：在棱PC上存在點(diǎn)E，當(dāng)E為PC的中點(diǎn)時(shí)，BE∥平面PAD．
分別取CP，CD的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連結(jié)BE，BF，EF．
∴EF∥PD．
∵AB∥CD，CD=2AB，
∴AB∥FD，AB=FD，則四邊形ABFD為平行四邊形，得BF∥AD．
∵BF∩EF=F，AD∩PD=D，
∴平面BEF∥平面PAD．
又BE?平面BEF，
∴BE∥平面PAD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行、面面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．