Question

12．己知等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，S₆=9S₃
（I ）求{a_n}的通項公式
（II）設b_n=1+log₂a_n，求數(shù)列{a_nb_n}的前n項和．

Answer 1

分析 （I）利用等比數(shù)列的通項公式與求和公式即可得出．
（II）利用錯位相減法、等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）設等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
∵a₁=1，S₆=9S₃，知q≠1，故有$\frac{1-{q}^{6}}{1-q}$=$\frac{9（1-{q}^{3}）}{1-q}$，
即（1-q³）（1+q³）=9（1-q³），
即有1+q³=9，即q³=8，解得q=2，…（4分）
則a_n=a₁q^n-1=2^n-1…（6分）
$（Ⅱ）_{n}=1+{log}_{2}{a}_{n}=1+{log}_{2}{2}^{n-1}=1+n-1=n$，
∴${a}_{n}_{n}=n•{2}^{n-1}…（7分）$，
∴${T}_{n}=1+2•2+3•{2}^{2}+…+n•{2}^{n-1}①$
$2{T}_{n}=1•2+2•{2}^{2}+…（n-1）{2}^{n-1}+n•{2}^{n}②$
②-①得${T}_{n}=n•{2}^{n}-（1+2+{2}^{2}+…+{2}^{n-1}）=n•{2}^{n}-（{2}^{n}-1）=（n-1）{2}^{n}+1…（12分）$

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式求和公式、錯位相減法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．