Question

9．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-2ax+bx-3$，若對(duì)于任意的a∈[-1，$\frac{2}{3}$]，任意的x∈[1，2]都有f（x）＞0恒成立，則b的取值范圍是（4，+∞）．

Answer 1

分析 函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-2ax+bx-3$，若對(duì)于任意的a∈[-1，$\frac{2}{3}$]，任意的x∈[1，2]都有f（x）＞0恒成立，可得b＞$\frac{3}{x}$+2a-$\frac{1}{3}{x}^{3}$，x∈[1，2]．令g（x）=$\frac{3}{x}$+2a-$\frac{1}{3}{x}^{3}$，由g′（x）＜0，可得函數(shù)g（x）在x∈[1，2]上單調(diào)遞減．可得g（x）_max=g（1）=$\frac{8}{3}$+2a，再利用其單調(diào)性即可得出．

解答 解：函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-2ax+bx-3$，若對(duì)于任意的a∈[-1，$\frac{2}{3}$]，任意的x∈[1，2]都有f（x）＞0恒成立，
b＞$\frac{3}{x}$+2a-$\frac{1}{3}{x}^{3}$，x∈[1，2]．
令g（x）=$\frac{3}{x}$+2a-$\frac{1}{3}{x}^{3}$，g′（x）=$-\frac{3}{{x}^{2}}$-x²＜0，
∴函數(shù)g（x）在x∈[1，2]上單調(diào)遞減．∴g（x）_max=g（1）=$\frac{8}{3}$+2a，
又a∈[-1，$\frac{2}{3}$]，∴g（x）_max=$\frac{8}{3}$+2×$\frac{2}{3}$=4，
若對(duì)于任意的a∈[-1，$\frac{2}{3}$]，任意的x∈[1，2]都有f（x）＞0恒成立，
∴b＞4．
故答案為：（4，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．