Question

5．設實數(shù)x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥0}\\{x-y≤0}\\{x+3y≤3}\end{array}\right.$，則$\frac{x+y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$的取值范圍是[0，2]．

Answer 1

分析 畫出約束條件的可行域，化簡目標函數(shù)，轉(zhuǎn)化為直線的斜率問題，通過函數(shù)的值域求解目標函數(shù)的范圍即可．

解答 解：約束條件的可行域如圖：由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{x+3y=3}\end{array}\right.$可得A（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），
$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{x+3y=3}\end{array}\right.$可得B（$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{4}$），
則$\frac{x+y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{2xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{2}{\frac{y}{x}+\frac{x}{y}}}$，由題意可得$\frac{y}{x}$∈[-1，1]，令t=$\frac{y}{x}$∈[-1，1]，則$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}$=t+$\frac{1}{t}$∈[2，+∞）∪（-∞，-2]，
∴$\sqrt{1+\frac{2}{\frac{y}{x}+\frac{x}{y}}}$∈[0，2]．
故答案為：[0，2]．

點評 本題考查線性規(guī)劃的簡單應用，考查數(shù)形結(jié)合以及函數(shù)的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．