Question

【題目】如圖，矩形所在的平面與正三角形所在的平面互相垂直，為的中點，連接.

（1）證明:平面平面；

（2）若直線與平面所成的角為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連接，可得，由條件可證，可得平面，從而可證.
（2）取中點,中點以為空間直角坐標(biāo)系的原點，以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系, 直線與平面所成的角即為，故，運用向量的方法求解.

（1）證明:連接

三角形為正三角形，為的中點，

平面平面，

平面平面

平面

平面

平面 .

，平面平面，

平面

平面

平面平面

（2）取中點,中點以為空間直角坐標(biāo)系的原點，以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.

直線與平面所成的角即為，

故.

設(shè)，

則，

，，，

故，

設(shè)平面的法向量為，

則

即

即

令，則，

故.

平面的法向量為，

設(shè)所求二面角的大小為，

則

由，

故二面角的余弦值為: