Question

4．已知函數(shù)f（x）=|x+a-1|+|x-2a|．
（1）若f（1）＜3，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若a≥1，x∈R，求證：f（x）≥2．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)討論a的范圍得到關(guān)于a的不等式，解出取并集即可；（2）基本基本不等式的性質(zhì)證明即可．

解答 解：（1）因?yàn)閒（1）＜3，所以|a|+|1-2a|＜3．
①當(dāng)a≤0時(shí)，得-a+（1-2a）＜3，
解得a＞-$\frac{2}{3}$，所以-$\frac{2}{3}$＜a≤0； 
②當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，得a+（1-2a）＜3，
解得a＞-2，所以0＜a＜$\frac{1}{2}$； 
③當(dāng)a≥$\frac{1}{2}$時(shí)，得a-（1-2a）＜3，
解得a＜$\frac{4}{3}$，所以$\frac{1}{2}$≤a＜$\frac{4}{3}$；    
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{3}$）．
（2）因?yàn)閍≥1，x∈R，
所以f（x）=|x+a-1|+|x-2a|≥|（x+a-1）-（x-2a）|=|3a-1|=3a-1≥2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解絕對(duì)值不等式問(wèn)題，考查絕對(duì)值的意義，是一道中檔題．