Question

9．在測試中，客觀題難度的計算公式為P_i=$\frac{{R}_{i}}{N}$，其中P_i為第i題的難度，R_i為答對該題的人數，N為參加測試的總人數．
現對某校髙三年級120名學生進行一次測試，共5道客觀題．測試前根據對學生的了解，預估了每道題的難度，如表所示：

題號	1	2	3	4	5
考前預估難度Pi	0.9	0.8	0.7	0.6	0.4

測試后，從中隨機抽取了10名學生，將他們編號后統(tǒng)計各題的作答情況，如表所示（“√”表示答對，“×”表示答錯）：

題號 學生編號	1	2	3	4	5
1	×	√	√	√	√
2	√	√	√	√	×
3	√	√	√	√	×
4	√	√	√	×	×
5	√	√	√	√	√
6	√	×	×	√	×
7	×	√	√	√	×
8	√	×	×	×	×
9	√	√	√	×	×
10	√	√	√	√	×

（I）根據題中數據，將抽樣的10名學生每道題實測的答對人數及相應的實測難度填入表，并估計這120名學生中第5題的實測答對人數；

題號	1	2	3	4	5
實測答對人數
實測難度

（Ⅱ）從編號為1到5的5人中隨機抽取2人，求恰好有1人答對第5題的概率；
（Ⅲ）定義統(tǒng)計量S=$\frac{1}{n}$[（P′₁-P₁）²+（P′₂-P₂）²+…+（P′_n-P_n）²]，其中P′_i為第i題的實測難度，P_i為第i題的預估難度（i=l，2，…，n），規(guī)定：若S＜0.05，則稱該次測試的難度預估合理，否則為不合理．判斷本次測試的難度預估是否合理．

Answer 1

分析 （I）根據題中數據，統(tǒng)計各題答對的人數，進而根據P_i=$\frac{{R}_{i}}{N}$，得到難度系數；
（Ⅱ）根據古典概型概率計算公式，可得從編號為1到5的5人中隨機抽取2人，求恰好有1人答對第5題的概率；
（Ⅲ）由S=$\frac{1}{n}$[（P′₁-P₁）²+（P′₂-P₂）²+…+（P′_n-P_n）²]計算出S值，與0.05比較后，可得答案．

解答 解：（I）根據題中數據，可得抽樣的10名學生每道題實測的答對人數及相應的實測難度如下表所示：；

題號	1	2	3	4	5
實測答對人數	8	8	8	7	2
實測難度	0.8	0.8	0.8	0.7	0.2

（Ⅱ）從編號為1到5的5人中隨機抽取2人，
共有${C}_{5}^{2}$=10種不同的情況，
其中恰好有1人答對第5題的有${C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}$=6種不同的情況，
故恰好有1人答對第5題的概率P=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$；
（Ⅲ）由題意得：S=$\frac{1}{5}$[（0.8-0.9）²+（0.8-0.8）²+（0.8-0.7）²+（0.7-0.6）²+（0.2-0.4）²]=0.014＜0.05，
故該次測試的難度預估合理．

點評 本題考查的知識點是統(tǒng)計與概率，古典概型的概率計算公式，難度不大，屬于基礎題．