Question

4．把函數(shù)y=sin2x的圖象沿著x軸向左平移$\frac{π}{6}$個單位，縱坐標伸長到原來的2倍（橫坐標不變）后得到函數(shù)y=f（x）的圖象，對于函數(shù)y=f（x）有以下四個判斷：
（1）該函數(shù)的解析式為$y=2sin（2x+\frac{π}{6}）$；
（2）該函數(shù)圖象關(guān)于點$（\frac{π}{3}，0）$對稱；
（3）該函數(shù)在$[0，\frac{π}{6}]$上是增函數(shù)；
（4）若函數(shù)y=f（x）+a在$[0，\frac{π}{2}]$上的最小值為$\sqrt{3}$，則$a=2\sqrt{3}$
其中正確的判斷有（　�。�

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 利用y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，的得出結(jié)論．

解答 解：把函數(shù)y=sin2x的圖象沿著x軸向左平移$\frac{π}{6}$個單位，可得y=sin（2x+$\frac{π}{3}$）的圖象；
再把縱坐標伸長到原來的2倍（橫坐標不變）后得到函數(shù)y=f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）的圖象，
對于函數(shù)y=f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
故選項A不正確，故（1）錯誤；
由于當x=$\frac{π}{3}$時，f（x）=0，故該函數(shù)圖象關(guān)于點$（\frac{π}{3}，0）$對稱，故（2）正確；
在$[0，\frac{π}{6}]$上，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，故f（x）該函數(shù)在[0，$\frac{π}{2}$]上不是增函數(shù)，故（3）錯誤；
在$[0，\frac{π}{2}]$上，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，故當2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{4π}{3}$時，
f（x）+a該函數(shù)在$[0，\frac{π}{6}]$上取得最小值為-$\sqrt{3}$+a=$\sqrt{3}$，∴a=2$\sqrt{3}$，故（4）正確，
故選：B．

點評 本題主要考查y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．