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12.在△ABC中,三內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.
(1)若c=\sqrt{6},A={45°},a=2,求C,b;
(2)若a=btanA,且B為鈍角,證明:B-A=\frac{π}{2},并求sinA+sinC的取值范圍.

分析 (1)由正弦定理即可求出C的大小,再根據(jù)正弦定理和兩角和的正弦公式即可求出b
(2)根據(jù)正弦定理、商的關(guān)系化簡(jiǎn)已知的式子,由條件和誘導(dǎo)公式求出B-A的值,求出C和A的范圍,由誘導(dǎo)公式和二倍角的余弦公式變形化簡(jiǎn),利用換元法和二次函數(shù)的性質(zhì)求出式子的范圍.

解答 解:(1)由正弦定理可得\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA},
∵c=\sqrt{6},A={45°},a=2,
∴sinC=\frac{\sqrt{6}×\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2},
∴C=60°或120°,
由正弦定理可得b=\frac{asinB}{sinA}
當(dāng)C=60°,sinB=sin(A+C)=sin45°cos60°+cos45°sin60°=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4},
∴b=\frac{2×\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=1+\sqrt{3}
當(dāng)C=120°,sinB=sin(A+C)=sin45°cos120°+cos45°sin120°=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4},
∴b=\sqrt{3}-1,
(2)由題意得a=btanA,
∴由正弦定理得sinA=sinB•\frac{sinA}{cosA},則sinB=cosA,
∵B為鈍角,∴B=\frac{π}{2}+A,
∴B-A=\frac{π}{2};
∴C=π-(A+B)=π-(A+\frac{π}{2}+A)=\frac{π}{2}-2A>0,
∴A∈(0,\frac{π}{4}),
∴sinA+sinC=sinA+sin(\frac{π}{2}-2A)
=sinA+cos2A=sinA+1-2sin2A
=-2(sinA-\frac{1}{4}2+\frac{9}{8}
∵A∈(0,\frac{π}{4}),∴0<sinA<\frac{\sqrt{2}}{2},
∴由二次函數(shù)可知,\frac{\sqrt{2}}{2}<-2(sinA-\frac{1}{4}2+\frac{9}{8}\frac{9}{8},
∴sinA+sinC的取值范圍為(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{9}{8}]

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)中恒等變換的應(yīng)用,正弦定理,以及換元法和二次函數(shù)的性質(zhì),熟練掌握公式和定理是解題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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根據(jù)圖中提供的信息,下列關(guān)于成人使用該藥物的說(shuō)法中,不正確的是( �。�
A.首次服用該藥物1單位約10分鐘后,藥物發(fā)揮治療作用
B.每次服用該藥物1單位,兩次服藥間隔小于2小時(shí),一定會(huì)產(chǎn)生藥物中毒
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日期第1年第2年第3年第4年第5年
優(yōu)惠金額x(千元)101113128
銷售量y(輛)2325302616
該公司所確定的研究方案是:先從這5組數(shù)據(jù)中選取2組,用剩下的3組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再對(duì)被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).
(1)若選取的是第1年與第5年的兩組數(shù)據(jù),請(qǐng)根據(jù)其余三年的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程\hat y=\hat bx+\hat a
(2)若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過(guò)2輛,則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的,試問(wèn)(1)中所得的線性回歸方程是否可靠?
相關(guān)公式:\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{({{x_i}-\overline x})({{y_i}-\overline y})}}}{{\sum_{i=1}^n{{{({{x_i}-\overline x})}^2}}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}},\hat a=\overline y-\hat b\overline x

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(2)該函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)(\frac{π}{3},0)對(duì)稱;
(3)該函數(shù)在[0,\frac{π}{6}]上是增函數(shù);
(4)若函數(shù)y=f(x)+a在[0,\frac{π}{2}]上的最小值為\sqrt{3},則a=2\sqrt{3}
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