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12.在△ABC中,三內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.
(1)若c=6A=45°,a=2,求C,b;
(2)若a=btanA,且B為鈍角,證明:B-A=π2,并求sinA+sinC的取值范圍.

分析 (1)由正弦定理即可求出C的大小,再根據(jù)正弦定理和兩角和的正弦公式即可求出b
(2)根據(jù)正弦定理、商的關(guān)系化簡已知的式子,由條件和誘導(dǎo)公式求出B-A的值,求出C和A的范圍,由誘導(dǎo)公式和二倍角的余弦公式變形化簡,利用換元法和二次函數(shù)的性質(zhì)求出式子的范圍.

解答 解:(1)由正弦定理可得csinC=asinA,
∵c=6A=45°,a=2,
∴sinC=6×222=32,
∴C=60°或120°,
由正弦定理可得b=asinBsinA
當(dāng)C=60°,sinB=sin(A+C)=sin45°cos60°+cos45°sin60°=6+24,
∴b=2×6+2422=1+3,
當(dāng)C=120°,sinB=sin(A+C)=sin45°cos120°+cos45°sin120°=624,
∴b=3-1,
(2)由題意得a=btanA,
∴由正弦定理得sinA=sinB•sinAcosA,則sinB=cosA,
∵B為鈍角,∴B=π2+A,
∴B-A=π2;
∴C=π-(A+B)=π-(A+π2+A)=π2-2A>0,
∴A∈(0,π4),
∴sinA+sinC=sinA+sin(π2-2A)
=sinA+cos2A=sinA+1-2sin2A
=-2(sinA-142+98,
∵A∈(0,π4),∴0<sinA<22,
∴由二次函數(shù)可知,22<-2(sinA-142+9898,
∴sinA+sinC的取值范圍為(22,98]

點評 本題考查三角函數(shù)中恒等變換的應(yīng)用,正弦定理,以及換元法和二次函數(shù)的性質(zhì),熟練掌握公式和定理是解題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊系列答案
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2.與空間四邊形ABCD四個頂點距離相等的平面共有( �。�
A.7個B.6個C.5個D.4個

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3.血藥濃度(Plasma Concentration)是指藥物吸收后在血漿內(nèi)的總濃度.藥物在人體內(nèi)發(fā)揮治療作用時,該藥物的血藥濃度應(yīng)介于最低有效濃度和最低中毒濃度之間.已知成人單次服用1單位某藥物后,體內(nèi)血藥濃度及相關(guān)信息如圖所示:

根據(jù)圖中提供的信息,下列關(guān)于成人使用該藥物的說法中,不正確的是( �。�
A.首次服用該藥物1單位約10分鐘后,藥物發(fā)揮治療作用
B.每次服用該藥物1單位,兩次服藥間隔小于2小時,一定會產(chǎn)生藥物中毒
C.每間隔5.5小時服用該藥物1單位,可使藥物持續(xù)發(fā)揮治療作用
D.首次服用該藥物1單位3小時后,再次服用該藥物1單位,不會發(fā)生藥物中毒

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20.如圖,網(wǎng)格紙的小正方形的邊長是1,粗線表示一正方體被某平面截得的幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為( �。�
A.2B.4C.6D.8

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7.一汽車銷售公司對開業(yè)5年來某種型號的汽車“五一”優(yōu)惠金額與銷售量之間的關(guān)系進(jìn)行分析研究并做了記錄,得到如下資料.
日期第1年第2年第3年第4年第5年
優(yōu)惠金額x(千元)101113128
銷售量y(輛)2325302616
該公司所確定的研究方案是:先從這5組數(shù)據(jù)中選取2組,用剩下的3組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再對被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗.
(1)若選取的是第1年與第5年的兩組數(shù)據(jù),請根據(jù)其余三年的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程ˆy=ˆbx+ˆa;
(2)若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2輛,則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的,試問(1)中所得的線性回歸方程是否可靠?
相關(guān)公式:ˆb=ni=1xi¯xyi¯yni=1xi¯x2=ni=1xiyin¯x¯yni=1x2in¯x2,ˆa=¯yˆb¯x

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17.《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題:“今有芻甍,下廣三丈,袤四丈,上袤二丈,無廣,高一丈.問積幾何?”其意思為:“今有底面為矩形的屋脊?fàn)畹男w,下底面寬3丈,長4丈,上棱長2丈,無寬,高1丈.現(xiàn)給出該楔體的三視圖,其中網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1丈,則該楔體的體積為(  )
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4.把函數(shù)y=sin2x的圖象沿著x軸向左平移π6個單位,縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變)后得到函數(shù)y=f(x)的圖象,對于函數(shù)y=f(x)有以下四個判斷:
(1)該函數(shù)的解析式為y=2sin2x+π6;
(2)該函數(shù)圖象關(guān)于點π30對稱;
(3)該函數(shù)在[0π6]上是增函數(shù);
(4)若函數(shù)y=f(x)+a在[0π2]上的最小值為3,則a=23
其中正確的判斷有( �。�
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2.若|a|=1,||=2,(a+)•=3,則a的夾角為2π3

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