Question

5．已知函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x均有f（x）=kf（x+2），其中常數(shù)k為負(fù)數(shù)，f（x）在區(qū)間[0，2]上滿(mǎn)足f（x）=x（x-2）．
（1）當(dāng)k=-1時(shí)，求f（-1），f（2.5）的值；
（2）求f（x）在區(qū)間[-2，4]上的解析式；
（3）求f（x）在區(qū)間[-2，4]上的最大值，并求出相應(yīng)的自變量的取值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（x）=-f（x+2）計(jì)算即可；
（2）利用條件分別求出f（x）在[-2，0]和[2，4]上的解析式，寫(xiě)成分段函數(shù)即可；
（3）利用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷f（x）的單調(diào)性，求出極大值，比較兩個(gè)極大值即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵f（x）=-f（x+2），
∴f（-1）=-f（1）=1，
f（2.5）=-f（0.5）=$\frac{3}{4}$．
（2）設(shè)x∈[-2，0]，則x+2∈[0，2]，∴f（x+2）=x（x+2）
∴f（x）=kf（x+2）=kx（x+2），
設(shè)x∈[2，4]，則x-2∈[0，2]，∴f（x-2）=（x-2）（x-4），
∴f（x）=$\frac{1}{k}$f（x-2）=$\frac{1}{k}$（x-2）（x-4）．
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{kx（x+2），-2≤x＜0}\\{x（x-2），0≤x≤2}\\{\frac{1}{k}（x-2）（x-4），2＜x≤4}\end{array}\right.$．
（3）∵k＜0，
∴f（x）在[-2，-1]上單調(diào)遞增，在[-1，0]上單調(diào)遞減，在[0，1]上單調(diào)遞減，
在[1，2]上單調(diào)遞增，在[2，3]上單調(diào)遞增，在[3，4]上單調(diào)遞減，
∴f（x）在[-2，-1]上單調(diào)遞增，在[-1，1]上單調(diào)遞減，
在[1，3]上單調(diào)遞增，在[3，4]上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=-1時(shí)，f（x）取得極大值f（-1）=-k，
當(dāng)x=3時(shí)，f（x）取得極大值f（3）=-$\frac{1}{k}$，
若-k＞-$\frac{1}{k}$，即k＜-1時(shí)，f（x）的最大值為f（-1）=-k，
若-k＜-$\frac{1}{k}$，即-1＜k＜0，f（x）的最大值為f（3）=-$\frac{1}{k}$，
若-k=-$\frac{1}{k}$，即k=-1時(shí)，f（x）的最大值為1，此時(shí)x=1或x=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性與最值計(jì)算，屬于中檔題．