Question

14．如圖，在三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥平面PAB，△PAC為等邊三角形，AB⊥PB且AB=PB=$\sqrt{2}$，O為PA的中點，點M在AC上．
（1）求證：平面BOM⊥平面PAC；
（2）求點P到平面ABC的距離．

Answer 1

分析 （1）由AB=PB，O為PA的中點，得OB⊥PA，再由面面垂直的性質(zhì)可得BO⊥平面PAC，進一步得到平面BOM⊥平面PAC；
（2）由已知得，△PAB為等腰直角三角形，AB=PB=$\sqrt{2}$，求出等邊三角形PAC的面積，然后利用等積法求點P到平面ABC的距離．

解答 （1）證明：∵AB=PB，O為PA的中點，∴OB⊥PA，
又∵平面PAC⊥平面PAB，且OB?平面ABP，
∴BO⊥平面PAC，而OB?平面BOM，
∴平面BOM⊥平面PAC；
（2）解：由已知得，△PAB為等腰直角三角形，AB=PB=$\sqrt{2}$，
∴AP=2，BO=1，等邊三角形PAC的面積為${S}_{△PAC}=\sqrt{3}$，
∴${V}_{B-PAC}=\frac{1}{3}×{S}_{△PAC}×BO=\frac{1}{3}×\sqrt{3}×1=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
由（1）知OC⊥平面PAB，∴AC=BC=2，
∴在△ABC中，AB邊上的高為$\frac{\sqrt{14}}{2}$．
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{14}}{2}=\frac{\sqrt{7}}{2}$．
設(shè)點P到平面ABC的距離為h，
則有${V}_{P-ABC}=\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×h=\frac{\sqrt{3}}{3}$，得h=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．
故點P到平面ABC的距離為$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

點評 本題考查平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，考查多面體體積的求法，是中檔題．