Question

【題目】某濕地公園內(nèi)有一條河，現(xiàn)打算建一座橋?qū)⒑觾砂兜穆愤B接起來，剖面設(shè)計(jì)圖紙如下：

其中，點(diǎn)為軸上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，曲線段是橋的主體，為橋頂，且曲線段在圖紙上的圖形對應(yīng)函數(shù)的解析式為，曲線段均為開口向上的拋物線段，且分別為兩拋物線的頂點(diǎn)，設(shè)計(jì)時(shí)要求：保持兩曲線在各銜接處（）的切線的斜率相等.

（1）求曲線段在圖紙上對應(yīng)函數(shù)的解析式,并寫出定義域；

（2）車輛從經(jīng)倒爬坡，定義車輛上橋過程中某點(diǎn)所需要的爬坡能力為：（該點(diǎn)與橋頂間的水平距離）（設(shè)計(jì)圖紙上該點(diǎn)處的切線的斜率），其中的單位：米.若該景區(qū)可提供三種類型的觀光車:①游客踏乘；②蓄電池動(dòng)力；③內(nèi)燃機(jī)動(dòng)力.它們的爬坡能力分別為米,米,米,又已知圖紙上一個(gè)單位長度表示實(shí)際長度米,試問三種類型的觀光車是否都可以順利過橋?

Answer 1

【答案】⑴⑵“游客踏乘”的車輛不能順利通過該橋，而“蓄電池動(dòng)力”和“內(nèi)燃機(jī)動(dòng)力”的車輛可以順利通過該橋.

【解析】

試題分析：（1）據(jù)題意，拋物線段與軸相切，且為拋物線的頂點(diǎn)，設(shè)，則拋物線段在圖紙上對應(yīng)函數(shù)的解析式可設(shè)為，因?yàn)?/span>點(diǎn)為銜接點(diǎn),則解得所以曲線段在圖紙上對應(yīng)函數(shù)的解析式為

（2）設(shè)是曲線段上任意一點(diǎn),分別求P在兩段上時(shí)，函數(shù)的最大值

若在曲線段上,則通過該點(diǎn)所需要的爬坡能力，，利用二次函數(shù)求其最值（米），若在曲線段上,則通過該點(diǎn)所需要的爬坡能力

，令，換元法求其最大阻值，（米），所以可知:車輛過橋所需要的最大爬坡能力為米,

又因?yàn)?/span>,所以“游客踏乘”的車輛不能順利通過該橋，而“蓄電池動(dòng)力”和“內(nèi)燃機(jī)動(dòng)力”的車輛可以順利通過該橋．

試題解析：⑴據(jù)題意，拋物線段與軸相切，且為拋物線的頂點(diǎn)，設(shè)，則拋物線段在圖紙上對應(yīng)函數(shù)的解析式可設(shè)為，其導(dǎo)函數(shù)為

由曲線段在圖紙上的圖像對應(yīng)函數(shù)的解析式為,

又,且,所以曲線在點(diǎn)處的切線斜率為,

因?yàn)?/span>點(diǎn)為銜接點(diǎn),則解得

所以曲線段在圖紙上對應(yīng)函數(shù)的解析式為

⑵設(shè)是曲線段上任意一點(diǎn),

①若在曲線段上,則通過該點(diǎn)所需要的爬坡能力

令 ,

所以函數(shù) 在區(qū)間上為增函數(shù),在區(qū)間上是減函數(shù),

所以（米）

②若在曲線段上,則通過該點(diǎn)所需要的爬坡能力

令則

記當(dāng)時(shí),而當(dāng)時(shí),

所以當(dāng)時(shí),有最小值從而取最大值

此時(shí)（米）

所以由①,②可知:車輛過橋所需要的最大爬坡能力為米,

又因?yàn)?/span>,所以“游客踏乘”的車輛不能順利通過該橋，而“蓄電池動(dòng)力”和“內(nèi)燃機(jī)動(dòng)力”的車輛可以順利通過該橋．