Question

12．一個三角形具有以下性質：（1）三邊組成一個等差數(shù)列；（2）最大角是最小角的2倍．則該三角形三邊從小到大的比值為（　�。�

• A． 4：5：6
• B． 3：5：7
• C． 4：6：8
• D． 3：5：6

Answer 1

分析 根據(jù)題意，設邊長為，a，b，c（a＜b＜c），由三邊組成一個等差數(shù)列，最大角是最小角的2倍，可得2b=a+c，2A=C．則B=180°-3A．利用正弦定理即可得比較關系．

解答 解：根據(jù)題意，設邊長為，a，b，c（a＜b＜c），
由三邊組成一個等差數(shù)列，最大角是最小角的2倍，
可得2b=a+c，2A=C．則B=180°-3A．
正弦定理得：2sinB=sinA+sinC
即2sin3A=sinA+sin2A．
解得：cosA=$-\frac{1}{2}$（舍去）或cosA=$\frac{3}{4}$．
那么：sinA=$\frac{\sqrt{7}}{4}$．
sinC=sin2A=$\frac{3\sqrt{7}}{8}$．
sinB=sin3A=3sinA-4sin³A=$\frac{5\sqrt{7}}{16}$．
那么a：b：c=$\frac{\sqrt{7}}{4}$：$\frac{5\sqrt{7}}{16}$：$\frac{3\sqrt{7}}{8}$=4：5：6．
故選A

點評 本題考查了正弦定理和三角形內角和定理，三角恒等式的化簡計算能力．屬于中檔題．