Question

16．已知數(shù)列{a_n}滿足：${a_1}=2，{a_{n+1}}={a_n}^2-k{a_n}+k（{k∈{N^*}}），{a_1}，{a_2}，{a_3}$分別是公差不為零的等差數(shù)列{b_n}的前三項．
（1）求k的值；
（2）求證：對任意的n∈N^*，b_n，b_2n，b_4n不可能是等比數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）a₁=2，a_n+1=${a}_{n}^{2}$-ka_n+k，可得a₂=4-k，a₃=2k²-11k+16，又2a₂=a₁+a₃代入解出即可得出．
（2）由（1）可得：公差d=-$\frac{1}{2}$，可得b_n=$\frac{5-n}{2}$．假設(shè)b_n，b_2n，b_4n是等比數(shù)列，$_{2n}^{2}$=b_n•b_4n，利用通項公式代入解出即可得出結(jié)論．

解答 （1）解：∵a₁=2，a_n+1=${a}_{n}^{2}$-ka_n+k，∴a₂=4-k，a₃=2k²-11k+16，又2a₂=a₁+a₃，∴2（4-k）=2+2k²-11k+16，
化為：2k²-9k+10=0，解得k=2或$\frac{5}{2}$，又公差不為零的等差數(shù)列{b_n}，∴k=$\frac{5}{2}$．
（2）證明：由（1）可得：公差d=4-$\frac{5}{2}$-2=-$\frac{1}{2}$，可得b_n=2-$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{5-n}{2}$．
假設(shè)b_n，b_2n，b_4n是等比數(shù)列，∴$_{2n}^{2}$=b_n•b_4n，
∴$（\frac{5-2n}{2}）^{2}$=$\frac{5-n}{2}$×$\frac{5-4n}{2}$，化為：解得n=0與n∈N^*矛盾．
因此假設(shè)不成立，于是對任意的n∈N^*，b_n，b_2n，b_4n不可能是等比數(shù)列．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、反證法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．