Question

15．簡陽羊肉湯已入選成都市級非遺項目，成為簡陽的名片．當(dāng)初向各地作了廣告推廣，同時廣告對銷售收益也有影響．在若干地區(qū)各投入4萬元廣告費(fèi)用，并將各地的銷售收益繪制成頻率分布直方圖（如圖所示）．由于工作人員操作失誤，橫軸的數(shù)據(jù)丟失，但可以確定橫軸是從0開始計數(shù)的．
（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖，計算圖中各小長方形的寬度；
（Ⅱ）根據(jù)頻率分布直方圖，估計投入4萬元廣告費(fèi)用之后，銷售收益的平均值（以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的取值）；
（Ⅲ）按照類似的研究方法，測得另外一些數(shù)據(jù)，并整理得到下表：

廣告投入x（單位：萬元）	1	2	3	4	5
銷售收益y（單位：百萬元）	2	3	2		7

表中的數(shù)據(jù)顯示，x與y之間存在線性相關(guān)關(guān)系，請將（Ⅱ）的結(jié)果填入空白欄，并計算y關(guān)于x的回歸方程．回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖，由頻率分布直方圖各小長方形面積總和為1，可計算圖中各小長方形的寬度；
（Ⅱ）以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的取值，即可計算銷售收益的平均值；
（Ⅲ）求出回歸系數(shù)，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)各小長方形的寬度為m，由頻率分布直方圖各小長方形面積總和為1，可知（0.08+0.1+0.14+0.12+0.04+0.02）•m=0.5m=1，故m=2；…（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知各小組依次是[0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12]，
其中點(diǎn)分別為1，3，5，7，9，11，對應(yīng)的頻率分別為0.16，0.20，0.28，0.24，0.08，0.04，
故可估計平均值為1×0.16+3×0.2+5×0.28+7×0.24+9×0.08+11×0.04=5；…（7分）
（Ⅲ）空白欄中填5．
由題意可知，$\overline{x}=\frac{1+2+3+4+5}{5}=3$，$\overline{y}=\frac{2+3+2+5+7}{5}=3.8$，$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}}=1×2+2×3+3×2+4×5+5×7=69$，$\sum_{i=1}^5{x_i^2}={1^2}+{2^2}+{3^2}+{4^2}+{5^2}=55$，
根據(jù)公式，可求得$\widehatb=\frac{69-5×3×3.8}{{55-5×{3^2}}}=\frac{12}{10}=1.2$，$\widehata=3.8-1.2×3=0.2$，
即回歸直線的方程為$\widehaty=1.2x+0.2$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查回歸方程，考查頻率分布直方圖，考查學(xué)生的讀圖、計算能力，屬于中檔題．