Question

5．已知向量 $\overrightarrow{a}$=（2cos²x，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow$=（1，sin2x），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-1．
（1）當x=$\frac{π}{4}$時，求|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|的值；
（2）求方程f（x）=k（0＜k＜2），在[-$\frac{π}{12}$，$\frac{23π}{12}$]內(nèi)的所有實數(shù)根之和．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平面向量加減的運算法則求出a-b，化簡，將x=$\frac{π}{4}$帶入，求模長．
（2）根據(jù)平面向量乘積的運算法則求出f（x），將其化簡，利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，在[-$\frac{π}{12}$，$\frac{23π}{12}$]內(nèi)求出方程f（x）=k時，x的值，即可解決問題

解答 解：（1）由向量向量 $\overrightarrow{a}$=（2cos²x，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow$=（1，sin2x），
則：$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$=（2cos²x-1，$\sqrt{3}$-sin2x）
當x=$\frac{π}{4}$時，：$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$=（2cos²$\frac{π}{4}$-1，$\sqrt{3}$-sin2×$\frac{π}{4}$）=（0，$\sqrt{3}$-1）
那么：|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$-1
（2）f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-1=1×2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x-1
=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）
由方程f（x）=k，（0＜k＜2），得方程sin（2x+$\frac{π}{6}$）=$\frac{k}{2}$．
∵sin（2x+$\frac{π}{6}$）的周期T=π，又$\frac{23π}{12}$-（-$\frac{π}{12}$）=2π，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）在[-$\frac{π}{12}$，$\frac{23π}{12}$]內(nèi)有2個周期．
∵0＜$\frac{k}{2}$＜1，
∴方程sin（2x+$\frac{π}{6}$）在[-$\frac{π}{12}$，$\frac{23π}{12}$]內(nèi)有4個交點，即有4個實根．
根據(jù)圖象的對稱性，有x₁+x₂=$\frac{π}{3}$，x₃+x₄=$\frac{7π}{3}$，
∴所有實數(shù)根之和=x₁+x₂+x₃+x₄+x₅+x₆=$\frac{8π}{3}$．

點評 本題考查了向量的基本運算和三角函數(shù)的結(jié)合的運用．以及利用三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)解決一些題的能力，屬于中檔題．