Question

18．股票市場的前身是起源于1602年荷蘭人在阿姆斯特河大橋上進行荷屬東印度公司股票的買賣，而正規(guī)的股票市場最早出現(xiàn)在美國．2017年2月26號，中國證監(jiān)會主席劉士余談了對股市的幾點建議，給廣大股民樹立了信心．最近，張師傅和李師傅要將家中閑置資金進行投資理財．現(xiàn)有兩種投資方案，且一年后投資盈虧的情況如下：
（1）投資股市：

投資結(jié)果	獲利	不賠不賺	虧損
概率	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$

（2）購買基金：

投資結(jié)果	獲利	不賠不賺	虧損
概率	p	$\frac{1}{3}$	q

（Ⅰ）當(dāng)$p=\frac{1}{2}$時，求q的值；
（Ⅱ）已知“購買基金”虧損的概率比“投資股市”虧損的概率小，求p的取值范圍；
（Ⅲ）已知張師傅和李師傅兩人都選擇了“購買基金”來進行投資，假設(shè)三種投資結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，求一年后他們兩人中至少有一人獲利的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得$p+\frac{1}{3}+q=1$，$p=\frac{1}{2}$，由此能求出$q=\frac{1}{6}$．
（Ⅱ）由“購買基金”虧損的概率比“投資股市”虧損的概率小，得$q＜\frac{3}{8}$，由$p+\frac{1}{3}+q=1$，$p+\frac{1}{3}+q=1$，q≥0，能求出p的取值范圍．
（Ⅲ）記事件A為“一年后張師傅和李師傅兩人中至少有一人獲利”，用a，b，c分別表示一年后張師傅購買基金“獲利”、“不賠不賺”、“虧損”，用x，y，z分別表示一年后李師傅購買基金“獲利”、“不賠不賺”、“虧損”，由此利用列舉法能求出這一年后張師傅和李師傅兩人中至少有一人獲利的概率．

解答 解：（Ⅰ）因為“購買基金”后，投資結(jié)果只有“獲利”、“不賠不賺”、“虧損”三種，且三種投資結(jié)果相互獨立，
所以$p+\frac{1}{3}+q=1$，又因為$p=\frac{1}{2}$，所以$q=\frac{1}{6}$．
（Ⅱ）由“購買基金”虧損的概率比“投資股市”虧損的概率小，得$q＜\frac{3}{8}$，
因為$p+\frac{1}{3}+q=1$，
所以$q=\frac{2}{3}-p＜\frac{3}{8}$，解得$p＞\frac{7}{24}$，
又因為$p+\frac{1}{3}+q=1$，q≥0，
所以$p≤\frac{2}{3}$，
所以$\frac{7}{24}＜p≤\frac{2}{3}$．
（Ⅲ）記事件A為“一年后張師傅和李師傅兩人中至少有一人獲利”，
用a，b，c分別表示一年后張師傅購買基金“獲利”、“不賠不賺”、“虧損”，用x，y，z分別表示一年后李師傅購買基金“獲利”、“不賠不賺”、“虧損”，
則一年后張師傅和李師傅購買基金，所有可能的投資結(jié)果有3×3=9種，它們是：（a，x），（a，y），（a，z），（b，x），（b，y），（b，z），（c，y），（c，z），
所以事件A的結(jié)果有5種，它們是：（a，x），（a，y），（a，z），（b，x），（c，x）．
因此這一年后張師傅和李師傅兩人中至少有一人獲利的概率$P（A）=\frac{5}{9}$．

點評 本題考查概率的求法及應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意等可能事件概率公式、列舉法的合理運用．