【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，四個(gè)頂點(diǎn)恰好構(gòu)成了一個(gè)邊長(zhǎng)為且面積為的菱形．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知直線，過(guò)右焦點(diǎn)F2，且它們的斜率乘積為，設(shè)，分別與橢圓交于點(diǎn)，和，，的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，求面積的最大值．

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據(jù)題意列出方程組，解出和的值即可得解；

（2）設(shè)直線的方程為，，則直線方程為，然后分別聯(lián)立直線和橢圓的方程，以及直線和橢圓的方程，再結(jié)合韋達(dá)定理得到，從而得到點(diǎn)的坐標(biāo)，因此，最后結(jié)合均值不等式即可求得面積最大值．

解：（1）由題可知，，

解得，

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）設(shè)直線的方程為，，

聯(lián)立，

消去得，

所以，

因?yàn)?/span>的中點(diǎn)為，

所以，，

因?yàn)橹本�的斜率為，且與的斜率乘積為，

所以直線方程為，

同理可得，，

所以，

所以的中點(diǎn)為．

因此．

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，

故△OMN面積的最大值為．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（，）.

（1）當(dāng)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）時(shí)，

（i）若在上恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（ii）若（），求在上的最大值；

（2）當(dāng)時(shí)，，，數(shù)列滿足.求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓C上一點(diǎn).

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為，，過(guò)，分別作x軸的垂線，，橢圓C的一條切線與，交于M，N兩點(diǎn)，求證：是定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知直線：與拋物線切于點(diǎn)，直線：過(guò)定點(diǎn)Q，且拋物線上的點(diǎn)到點(diǎn)Q的距離與其到準(zhǔn)線距離之和的最小值為.

（1）求拋物線的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）設(shè)直線與拋物線交于(異于點(diǎn)P)兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B，直線PA，PB的斜率分別為，那么是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖①，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝CD＝1.現(xiàn)以AD為一邊向梯形外作正方形ADEF，然后沿邊AD將正方形ADEF翻折，使平面ADEF與平面ABCD垂直，M為ED的中點(diǎn)，如圖②.

(1)求證：AM∥平面BEC；

(2)求點(diǎn)D到平面BEC的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知，在三棱柱中，，，，如圖.

（1）求證：平面；

（2）若，求平面與平面所成銳二面角的余弦.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，已知三棱柱中，側(cè)棱與底面垂直，且，，、分別是、的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且.

（1）求證：不論取何值，總有；

（2）當(dāng)時(shí)，求平面與平面所成二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓，離心率為，直線恒過(guò)的一個(gè)焦點(diǎn).

（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形的頂點(diǎn)均在上，交于，且，若直線的傾斜角的余弦值為，求直線與軸交點(diǎn)的坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知拋物線的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn).

（1）求拋物線的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）直線交拋物線于，不同兩點(diǎn)，且，位于軸兩側(cè)，過(guò)點(diǎn)，分別作拋物線的兩條切線交于點(diǎn)，直線，與軸的交點(diǎn)分別記作，．記的面積為，面積為，面積為，試問(wèn)是否為定值，若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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