Question

4．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{log_2}x+a，x≥1\\{x^2}+3ax+2{a^2}，x＜1\end{array}\right.$，
①若a=1，f（x）的最小值是-$\frac{1}{4}$；
②若f（x）恰好有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-1，-$\frac{1}{2}$]∪[0，+∞）．

Answer 1

分析 ①若a=1，分別求出當(dāng)x≥1時(shí)，函數(shù)遞增，可得最小值f（1）；當(dāng)x＜1時(shí)，配方求得最小值，比較即可得到所求最小值；
②若f（x）恰好有2個(gè)零點(diǎn)，討論a=0，a＞0，a＜0，再由單調(diào)性和二次方程的根的情況，即可得到所求a的范圍．

解答 解：①若a=1，當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）=log₂x+1遞增，可得x=1時(shí)，取得最小值1；
當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）=x²+3x+2=（x+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，當(dāng)x=-$\frac{3}{2}$時(shí)，取得最小值-$\frac{1}{4}$．
綜上可得，f（x）的最小值為-$\frac{1}{4}$．
②若f（x）恰好有2個(gè)零點(diǎn)，
由f（x）在[1，+∞）遞增，在[1，+∞）內(nèi)最多一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=0時(shí)，可得x=0，1，滿(mǎn)足題意；
當(dāng)a＞0時(shí)，x≥1時(shí)，f（x）≥log₂1+a=a＞0，無(wú)零點(diǎn)；
x＜1時(shí)，f（x）=（x+a）（x+2a）有兩個(gè)零點(diǎn)，即有-a＜1，且-2a＜1，成立；
當(dāng)a＜0時(shí)，x≥1時(shí)，f（x）≥log₂1+a=a，有一個(gè)零點(diǎn)2^-a；
x＜1時(shí)，f（x）=（x+a）（x+2a）恰有一個(gè)零點(diǎn)，若為-a，則-a＜1，-2a≥1，且-a≠2^-a，
解得-1＜a≤-$\frac{1}{2}$；
若為-2a，則-2a＜1，-a≥1，且-2a≠2^-a，不成立．
綜上可得，a的范圍是-1＜a≤-$\frac{1}{2}$或a≥0．
故答案為：-$\frac{1}{4}$，[-1，-$\frac{1}{2}$]∪[0，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值和零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用分類(lèi)討論思想方法，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．