Question

14．已知動圓P過點(diǎn)A（-3，0），且與圓B：（x-3）²+y²=64相內(nèi)切，則動圓P的圓心的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{7}=1$．

Answer 1

分析 根據(jù)兩圓內(nèi)切的性質(zhì)，算出動圓圓心到B（3，0）、A（-3，0）的距離之和等于常數(shù)8，由此可得軌跡為以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，利用橢圓的基本概念加以計(jì)算即可得到所求軌跡方程．

解答 解：圓B：（x-3）²+y²=64圓心為B（3，0），半徑為r=8，
設(shè)動圓的圓心為P，∵圓C過點(diǎn)A（-3，0），圓C與圓B相內(nèi)切
∴|PB|=8-|PA|，
得|PB|+|PA|=8（定值）
因此，動點(diǎn)C的軌跡為以A、B為焦點(diǎn)的橢圓
2a=8，c=3，可得b=$\sqrt{16-9}$=$\sqrt{7}$
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{7}=1$，即為動圓圓心的軌跡方程．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{7}=1$．

點(diǎn)評 本題給出動圓滿足的條件，求圓心的軌跡方程．著重考查了圓與圓的位置關(guān)系、橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程和動點(diǎn)軌跡方程的求法等知識，屬于中檔題．