【題目】設(shè)函數(shù),其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(Ⅰ)若上存在兩個(gè)極值點(diǎn),求的取值范圍;

(Ⅱ)若,函數(shù)與函數(shù)的圖象交于,且線段的中點(diǎn)為,證明:.

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)詳見解析.

【解析】

(Ⅰ)依題意上存在兩個(gè)極值點(diǎn),等價(jià)于有兩個(gè)不等實(shí)根,由參變分類可得,令,利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性、極值,從而得到參數(shù)的取值范圍;

(Ⅱ)由題解得,,要證成立,只需證:,即:,只需證:,設(shè),即證:,再分別證明即可;

解:(Ⅰ)由題意可知,,

上存在兩個(gè)極值點(diǎn),等價(jià)于有兩個(gè)不等實(shí)根,

可得,,令,

,令,

可得,當(dāng)時(shí),

所以上單調(diào)遞減,且

當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;

所以的極大值也是最大值,又當(dāng),當(dāng)大于0趨向與0,

要使有兩個(gè)根,則,

所以的取值范圍為

(Ⅱ)由題解得,,要證成立,

只需證:

即:,

只需證:

設(shè),即證:

要證,只需證:

,則

上為增函數(shù)

,即成立;

要證,只需證明:

,則

上為減函數(shù),,即成立

成立,所以成立.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某房地產(chǎn)開發(fā)商在其開發(fā)的某小區(qū)前修建了一個(gè)弓形景觀湖.如圖,該弓形所在的圓是以為直徑的圓,且米,景觀湖邊界平行且它們間的距離為米.開發(fā)商計(jì)劃從點(diǎn)出發(fā)建一座景觀橋(假定建成的景觀橋的橋面與地面和水面均平行),橋面在湖面上的部分記作.設(shè)

1)用表示線段并確定的范圍;

2)為了使小區(qū)居民可以充分地欣賞湖景,所以要將的長(zhǎng)度設(shè)計(jì)到最長(zhǎng),求的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某超市春節(jié)大酬賓,購(gòu)物滿100元可參加一次抽獎(jiǎng)活動(dòng),規(guī)則如下:顧客將一個(gè)半徑適當(dāng)?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器正上方的人口處,小球在自由落下的過程中,將3次遇到黑色障礙物,最后落入A袋或B袋中,顧客相應(yīng)獲得袋子里的獎(jiǎng)品.已知小球每次遇到黑色障礙物時(shí),向左向右下落的概率都為.若活動(dòng)當(dāng)天小明在該超市購(gòu)物消費(fèi)108元,按照活動(dòng)規(guī)則,他可參加一次抽獎(jiǎng),則小明獲得A袋中的獎(jiǎng)品的概率為_____.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

1)若函數(shù),試討論的單調(diào)性;

2)若,求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)

1)若時(shí),求證:當(dāng)時(shí),;

2)若函數(shù)4個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為

1)求的單調(diào)區(qū)間;

2)若的極小值為,求在區(qū)間上的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),是橢圓上一點(diǎn),當(dāng)時(shí),有.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)設(shè)過橢圓右焦點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓交于兩點(diǎn),試問在鈾上是否存在與不重合的定點(diǎn),使得恒成立?若存在,求出定點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

1)求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程;

2)討論函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】《算法統(tǒng)宗》全稱《新編直指算法統(tǒng)宗》,是屮國(guó)古代數(shù)學(xué)名著,程大位著.書中有如下問題:“今有五人均銀四十兩,甲得十兩四錢,戊得五兩六錢.問:次第均之,乙丙丁各該若干?”意思是:有5人分40兩銀子,甲分104錢,戊分56錢,且相鄰兩項(xiàng)差相等,則乙丙丁各分幾兩幾錢?(注:1兩等于10錢)(

A.乙分8兩,丙分8兩,丁分8B.乙分82錢,丙分8兩,丁分78

C.乙分92錢,丙分8兩,丁分68D.乙分9兩,丙分8兩,丁分7

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案