Question

4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l₁：kx-y+2=0與直線l₂：x+ky-2=0相交于點(diǎn)P，則當(dāng)實(shí)數(shù)k變化時(shí)，點(diǎn)P到直線x-y-4=0的距離的最大值為3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 直線l₁：kx-y+2=0與直線l₂：x+ky-2=0的斜率乘積=k×$（-\frac{1}{k}）$=-1，（k=0時(shí)，兩條直線也相互垂直），并且兩條直線分別經(jīng)過定點(diǎn)：M（0，2），N（2，0）．可得點(diǎn)M到直線x-y-4=0的距離d為最大值．

解答 解：∵直線l₁：kx-y+2=0與直線l₂：x+ky-2=0的斜率乘積=k×$（-\frac{1}{k}）$=-1，（k=0時(shí)，兩條直線也相互垂直），并且兩條直線分別經(jīng)過定點(diǎn)：M（0，2），N（2，0）．
∴兩條直線的交點(diǎn)在以MN為直徑的圓上．并且k_MN=-1，可得MN與直線x-y-4=0垂直．
∴點(diǎn)M到直線x-y-4=0的距離d=$\frac{|0-2-4|}{\sqrt{2}}$=3$\sqrt{2}$為最大值．
故答案為：3$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線的方程、圓的性質(zhì)、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．