Question

5．過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左頂點A作傾斜角為45°的直線l，l交y軸于點B，交雙曲線的一條漸近線于點C，若$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{BC}$，則該雙曲線的離心率為（　　）

• A． 5
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{\sqrt{5}}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)三角形的中位線定理求得C點坐標，代入雙曲線的漸近線方程，即可求得a和b的關(guān)系，利用雙曲線的離心率，即可求得答案．

解答 解：由題意可知：設(shè)雙曲線的左頂點D，連接CD，
由題意可知：丨OA丨=丨OB丨=a，
OB是△ADC的中位線，則丨CD丨=2a，
則C（a，2a），
將C代入雙曲線的漸近線方程y=$\frac{a}$x，
整理得：b=2a，
則該雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{5}$，
∴雙曲線的離心率$\sqrt{5}$，
故選B．

點評 本題考查雙曲線的標準方程及簡單幾何性質(zhì)，考查三角形的中位線定理，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．