Question

4．已知函數(shù)f（x）=x²+ax+sin$\frac{π}{2}$x（x∈（0，1））在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（　�。�

• A． [-$\frac{π}{2}$，+∞）
• B． （-∞，-$\frac{π}{2}$]
• C． （-∞，0]
• D． [0，+∞）

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則導函數(shù)f′（x）≥0恒成立，然后問題轉化為函數(shù)的最值問題求解．

解答 解：由f（x）=x²+ax+sin$\frac{π}{2}$x，得
f′（x）=2x+a+$\frac{π}{2}•$cos$\frac{π}{2}$x，
∵函數(shù)f（x）=x²+ax+sin$\frac{π}{2}$x在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，
∴f′（x）=2x+a+$\frac{π}{2}•$cos$\frac{π}{2}$x≥0在（0，1）內(nèi)恒成立，
即a≥-2x-$\frac{π}{2}•cos\frac{π}{2}x$在（0，1）內(nèi)恒成立．
令g（x）=-2x-$\frac{π}{2}•cos\frac{π}{2}x$，則g′（x）=-2+$\frac{{π}^{2}}{4}$sin$\frac{π}{2}x$，
∵g′（x）在（0，1）上遞增，且g′（0）＜0，g′（1）＞0，
∴g′（x）在區(qū)間（0，1）上存在唯一零點m．
∴g（x）在（0，m）上遞減，在（m，1）上遞增．
由$\left\{\begin{array}{l}{a≥g（0）}\\{a≥g（1）}\end{array}\right.$，a$≥-\frac{π}{2}$，
∴a的取值范圍是[-$\frac{π}{2}$，+∞）．
故選：A．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、通過構造函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性解決問題的方法，考查了轉化能力、推理能力與計算能力，屬于難題．