Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{x}+3，x≥0}\\{ax+b，x＜0}\end{array}\right.$，滿(mǎn)足條件：對(duì)于任意的非零實(shí)數(shù)x₁，存在唯一的非零實(shí)數(shù)x₂（x₂≠x₁），使得f（x₁）=f（x₂）．當(dāng)$f（{\sqrt{3}a}）=f（{4b}）$成立時(shí)，則實(shí)數(shù)a+b=（　�。�

• A． $-\sqrt{2}+3$
• B． 5
• C． $\sqrt{2}+3$
• D． 1

Answer 1

分析 利用分段函數(shù)，通過(guò)題意推出函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)值的關(guān)系列出方程，求解即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{x}+3，x≥0}\\{ax+b，x＜0}\end{array}\right.$，
若對(duì)于任意的非零實(shí)數(shù)x₁，存在唯一的非零實(shí)數(shù)x₂（x₂≠x₁），使得f（x₁）=f（x₂）．
可知x＜0時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)，并且x=0時(shí)，兩部分的函數(shù)值相等．
可得：a＜0，b=3，
當(dāng)$f（{\sqrt{3}a}）=f（{4b}）$時(shí)，$\sqrt{3}{a}^{2}+3$=$\sqrt{12}+3$，
解得：a=-$\sqrt{2}$，
故實(shí)數(shù)a+b=$-\sqrt{2}+3$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)與方程的思想的應(yīng)用，判斷函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．