Question

6．如圖，四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是邊長為4的正方形，平面SAD⊥平面SCD，$SA=SD=2\sqrt{2}$．
（1）求證：平面SAD⊥平面ABCD；
（2）E為線段DS上一點(diǎn)，若二面角S-BC-E的平面角與二面角D-BC-E的平面角大小相等，求SE的長．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出DC⊥AD，從而DAD⊥SD，進(jìn)而SD⊥平面 ABCD，由此能證明平面SAD⊥底面ABCD．
（2）取AD中點(diǎn)M，連接SM，以M為原點(diǎn)，$\overrightarrow{MD}，\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{MS}$方向分別為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出SE的長．

解答 證明：（1）∵底面ABCD是邊長為4的正方形，平面SAD⊥平面SCD，
∴DC⊥AD，
∴AD⊥平面SCD，∴AD⊥SD，
∵CD∩SD=D，∴SD⊥平面 ABCD，
∵SD?底面ASD，
∴平面SAD⊥底面ABCD
解：（2）取AD中點(diǎn)M，連接SM，
∵SA=AD，∴SM⊥AD，
又∵平面SAD⊥底面ABCD，
∴SM⊥平面ABCD
以M為原點(diǎn)，$\overrightarrow{MD}，\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{MS}$方向分別為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，
平面ABCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
設(shè)平面BCS的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
S（0，0，2），B（-2，4，0），C（2，4，0），
$\overrightarrow{BC}=（4，0，0），\overrightarrow{BS}=（2，-4，2）$
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=4x=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BS}=2x-4y+2z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，1，2），
設(shè)$\overrightarrow{DE}=λ\overrightarrow{DS}=（{-2λ，0，2λ}）$，∴E（2-2λ，0，2λ），
由上同理可求出平面BCE的法向量$\overrightarrow{p}$=（0，λ，2），
由平面BCD、BCS與平面BCE所成的銳二面角的大小相等可得：
$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{p}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{p}|}$=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{p}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{p}|}$，即$\frac{2}{\sqrt{4+{λ}^{2}}}$=$\frac{4+λ}{\sqrt{5}•\sqrt{4+{λ}^{2}}}$，
解得$λ=2\sqrt{5}-4$，
∴$SE=10\sqrt{2}-4\sqrt{10}$．

點(diǎn)評 本題考查面面垂直的證明，考查線段長的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間思維能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．