Question

16．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且對(duì)任意正整數(shù)n都有a_n=$\frac{3}{4}$S_n+2成立．若b_n=log₂a_n，則b₁₀₀₈=（　　）

• A． 2017
• B． 2016
• C． 2015
• D． 2014

Answer 1

分析 根據(jù)數(shù)列的遞推公式即可求出數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得b_n=2n+1，代值計(jì)算即可

解答 解：在a_n=$\frac{3}{4}$S_n+2中令n=1得a₁=8，
因?yàn)閷?duì)任意正整數(shù)n，都有a_n=$\frac{3}{4}$S_n+2成立，所以a_n+1=$\frac{3}{4}$S_n+1+2成立，
兩式相減得a_n+1-a_n=$\frac{3}{4}$a_n+1，
所以a_n+1=4a_n，
又a₁≠0，
所以數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，
所以a_n=8•4^n-1=2²ⁿ⁺¹，
所以b_n=log₂a_n=2n+1，
所以b₁₀₀₈=2017，
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根據(jù)數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式和裂項(xiàng)求和，屬于中檔題．