Question

14．已知單位向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，且$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$=-$\frac{1}{2}$
（Ⅰ）求|$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow$|
（Ⅱ）$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$$-\overrightarrow{a}$的夾角．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知結(jié)合$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{（\overrightarrow{a}）^{2}}$求解；
（Ⅱ）求出$|\overrightarrow-\overrightarrow{a}|$及$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow-\overrightarrow{a}）$，代入數(shù)量積求夾角公式得答案．

解答 解：（Ⅰ）∵$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow|=1$，$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$=-$\frac{1}{2}$，
∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|=\sqrt{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$=$\sqrt{|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{|}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$
=$\sqrt{1+1-2×\frac{1}{2}}=1$；
（Ⅱ）$|\overrightarrow-\overrightarrow{a}|=\sqrt{{\overrightarrow}^{2}+{\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$=$\sqrt{1+1-2×（-\frac{1}{2}）}=\sqrt{3}$．
$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow-\overrightarrow{a}）=\overrightarrow{a}•\overrightarrow-{\overrightarrow{a}}^{2}=-\frac{3}{2}$．
設(shè)$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$$-\overrightarrow{a}$的夾角為θ，θ∈[0，π]，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow-\overrightarrow{a}）}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow-\overrightarrow{a}|}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$．
則θ=$\frac{5π}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查利用數(shù)量積求向量的夾角，是中檔題．