Question

19．設(shè)點F是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的右焦點，點F到漸近線的距離與雙曲線的焦距之比為1：4，則雙曲線的漸近線方程為（　�。�

• A． $\sqrt{3}x±y=0$
• B． $x±\sqrt{3}y=0$
• C． $\sqrt{15}x±y=0$
• D． $x±\sqrt{15}y=0$

Answer 1

分析 求出點F到漸近線的距離，根據(jù)條件建立比例關(guān)系，求出a，b的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 解：雙曲線的右焦點F（c，0），到漸近線y=$\frac{a}$x，即bx-ay=0的距離d=$\frac{|bc|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{bc}{c}$=b，
∵點F到漸近線的距離與雙曲線的兩焦點間的距離的比值為1：4，
∴$\frac{2c}$=$\frac{1}{4}$，即c=2b，
則c²=a²+b²=4b²，
即a²=3b²，
則a=$\sqrt{3}$b，
則雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，即x±$\sqrt{3}$y=0，
故選：B．

點評 本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，根據(jù)距離關(guān)系求出a，b的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．