Question

4．某創(chuàng)業(yè)投資公司擬投資某種新能源產(chǎn)品，研發(fā)小組經(jīng)過初步論證，估計(jì)能獲得10萬(wàn)元到100萬(wàn)元的投資效益，現(xiàn)準(zhǔn)備制定一個(gè)對(duì)研發(fā)小組的獎(jiǎng)勵(lì)方案：獎(jiǎng)金y（單位：萬(wàn)元）隨投資收益x（單位：萬(wàn)元）的增加而增加，獎(jiǎng)金不超過投資收益的20%且不超過9萬(wàn)元，設(shè)獎(jiǎng)勵(lì)y是投資收益x的模型為y=f（x）．
（1）試驗(yàn)證函數(shù)y=$\frac{x}{150}$+1是否符合函數(shù)x模型請(qǐng)說明理由；
（2）若公司投資公司采用函數(shù)模型f（x）=$\frac{10x-3a}{x+2}$，試確定最小的正整數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）判斷y=$\frac{x}{150}+1$的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值與9的大小關(guān)系，判斷$\frac{x}{150}+1$-$\frac{1}{5}$x≤0在[10，100]上是否恒成立；
（2）令f（x）-$\frac{x}{5}$≤0在[10，100]上恒成立，解出a的范圍，再令f（100）≤9解出a的范圍，求出a的范圍，從而得出a的最小正整數(shù)解．

解答 解：（1）函數(shù)y=$\frac{x}{150}$+1是增函數(shù)，當(dāng)x=100時(shí)，y=$\frac{2}{3}+1$＜9，
∴獎(jiǎng)金y隨投資收益x的增加而增加，且獎(jiǎng)金不超過9萬(wàn)元，
令g（x）=$\frac{x}{150}+1-\frac{x}{5}$≤0得x≥$\frac{150}{29}$，
∴當(dāng)10≤x≤100時(shí)，獎(jiǎng)金不超過投資收益的20%，
綜上，函數(shù)y=$\frac{x}{150}$+1符合函數(shù)x模型．
（2）f（x）=$\frac{10x-3a}{x+2}$=10-$\frac{3a+20}{x+2}$，
顯然，當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）是增函數(shù)，
令f（100）=10-$\frac{3a+20}{102}$≤9得a≥$\frac{82}{3}$，
令f（x）-$\frac{1}{5}$x=$\frac{10x-3a}{x+2}$-$\frac{1}{5}x$≤0在[10，100]上恒成立，
得15a≥-x²+48x，
令h（x）=-x²+48x，則h（x）在[10，24]上單調(diào)遞增，在（24，100]上單調(diào)遞減，
∴h（x）的最大值為h（24）=576，
∴15a≥576，即a≥$\frac{192}{5}$
綜上，a≥$\frac{192}{5}$，
∴最小的正整數(shù)a的值為38．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷，函數(shù)恒成立問題與函數(shù)最值計(jì)算，屬于中檔題．