Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x+\frac{1}{x}，x∈[-1，-\frac{1}{2}）\\-\frac{5}{2}，x∈[-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）\\ x-\frac{1}{x}，x∈[\frac{1}{2}，1）\end{array}$．
（1）求f（x）的值域；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=ax-3，x∈[-1，1]，若對(duì)于任意x₁∈[-1，1]，總存在x₀∈[-1，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)分段函數(shù)的解析式即可求出函數(shù)的值域，
（2）分類(lèi)討論，根據(jù)函數(shù)的值域和g（x）的單調(diào)性即可求出a的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)$x∈[-1，-\frac{1}{2}]$時(shí)，由定義易證函數(shù)$f（x）=x+\frac{1}{x}$在$[-1，-\frac{1}{2}]$上是減函數(shù)，此時(shí)$f（x）∈（-\frac{5}{2}，-2]$；
當(dāng)$x∈[-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}]$時(shí)，$f（x）=-\frac{5}{2}$；當(dāng)$x∈[\frac{1}{2}，1]$時(shí)，$f（x）=x-\frac{1}{x}$在$[\frac{1}{2}，1]$上是增函數(shù)，
此時(shí)$f（x）∈[-\frac{3}{2}，0]$．
∴f（x）的值域?yàn)?[-\frac{5}{2}，-2]∪[-\frac{3}{2}，0]$．
（2）①若a=0，g（x）=-3，對(duì)于任意x₁∈[-1，1]，$f（{x_1}）∈[-\frac{5}{2}，-2]∪[-\frac{3}{2}，0]$，
不存在x₀∈[-1，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立．
②若a＞0，g（x）=ax-3在[-1，1]上是增函數(shù)，g（x）∈[-a-3，a-3]，
任給x₁∈[-1，1]，$f（{x_1}）∈[-\frac{5}{2}，-2]∪[-\frac{3}{2}，0]$，
若存在x₀∈[-1，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，
則$[-\frac{5}{2}，-2]∪[-\frac{3}{2}，0]⊆[-a-3，a-3]$，
∴$\left\{\begin{array}{l}-a-3≤-\frac{5}{2}\\ a-3≥0\end{array}\right.$，
∴a≥3．
③若a＜0，g（x）=ax-3在[-1，1]上是減函數(shù)，g（x）∈[a-3，-a-3]，若存在x₀∈[-1，1]，使g（x₀）=f（x₁）成立，
則$[-\frac{5}{2}，-2）∪[-\frac{3}{2}，0]⊆[a-3，-a-3]$．
∴$\left\{\begin{array}{l}a-3≤-\frac{5}{2}\\-a-3≥0\end{array}\right.$，
∴a≤-3．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-3]∪[3，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題，以及利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行解題，涉及了分類(lèi)討論求值域問(wèn)題．屬于中檔題．